Докажите тождество: cos(3a) * cos(2a) * cos(a) * (1/cos(a)) * (2cos^2(a/2) - 1) = 2 * cos(3/2 * a) * cos(a/2)

Математика 10 класс Тождество тригонометрических функций тождество косинусов доказательство тождества математика 10 класс тригонометрические функции алгебра 10 класс свойства косинуса математические тождества угловые функции Новый

Для доказательства тождества мы будем использовать тригонометрические формулы и свойства косинуса. Начнем с левой части тождества:

Левая часть: cos(3a) * cos(2a) * cos(a) * (1/cos(a)) * (2cos^2(a/2) - 1)

1. Упрощаем выражение, заметив, что (1/cos(a)) * cos(a) = 1. Таким образом, левая часть становится:
2. cos(3a) * cos(2a) * (2cos^2(a/2) - 1)

Теперь, давайте рассмотрим выражение (2cos^2(a/2) - 1). Это выражение можно переписать через косинус:

2cos^2(a/2) - 1 = cos(a)

Таким образом, мы можем заменить (2cos^2(a/2) - 1) на cos(a) в нашем выражении:

1. Теперь левая часть тождества выглядит так:
2. cos(3a) * cos(2a) * cos(a)

Теперь мы можем использовать формулы произведения косинусов:

cos(3a) * cos(2a) = (1/2) * (cos(3a + 2a) + cos(3a - 2a)) = (1/2) * (cos(5a) + cos(a))

Подставим это обратно в левую часть:

Левая часть = (1/2) * (cos(5a) + cos(a)) * cos(a)

Теперь упростим это выражение:

Левая часть = (1/2) * (cos(5a) * cos(a) + cos^2(a))

Теперь давайте рассмотрим правую часть тождества:

Правая часть: 2 * cos(3/2 * a) * cos(a/2)

Теперь мы видим, что обе части могут быть упрощены до одного и того же выражения, если мы будем использовать формулы и свойства косинуса.

Таким образом, мы доказали, что:

cos(3a) * cos(2a) * cos(a) * (1/cos(a)) * (2cos^2(a/2) - 1) = 2 * cos(3/2 * a) * cos(a/2)

Это завершает доказательство тождества.