Докажите тождество, используя формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов:

1. sin(a+B) + sin(-a) * cos(-B) = sinB * cosA
2. sin(30-a) - cos(60-a) = -√3 * sinA

Математика 10 класс Тождества тригонометрии тождество формулы синуса формулы косинуса сумма аргументов разность аргументов доказательство тождества Тригонометрия математические формулы синус и косинус математические доказательства Новый

Для доказательства данных тождеств будем использовать формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов.

Первое тождество: sin(a + B) + sin(-a) * cos(-B) = sinB * cosA

1. Начнем с левой части: sin(a + B).
2. По формуле синуса суммы: sin(a + B) = sin(a) * cos(B) + cos(a) * sin(B).
3. Теперь рассмотрим второй член: sin(-a) * cos(-B).
• По свойствам синуса и косинуса: sin(-a) = -sin(a) и cos(-B) = cos(B).
• Таким образом, sin(-a) * cos(-B) = -sin(a) * cos(B).
4. Теперь подставим это в левую часть: sin(a + B) + sin(-a) * cos(-B) = (sin(a) * cos(B) + cos(a) * sin(B)) - sin(a) * cos(B).
5. Сокращаем: sin(a + B) + sin(-a) * cos(-B) = cos(a) * sin(B).
6. Таким образом, мы получили: cos(a) * sin(B) = sinB * cosA, что и требовалось доказать.

Второе тождество: sin(30 - a) - cos(60 - a) = -√3 * sinA

1. Начнем с левой части: sin(30 - a).
2. По формуле синуса разности: sin(30 - a) = sin(30) * cos(a) - cos(30) * sin(a).
3. Зная значения: sin(30) = 1/2 и cos(30) = √3/2, подставляем: sin(30 - a) = (1/2) * cos(a) - (√3/2) * sin(a).
4. Теперь рассмотрим второй член: -cos(60 - a).
5. По формуле косинуса разности: cos(60 - a) = cos(60) * cos(a) + sin(60) * sin(a).
• Зная значения: cos(60) = 1/2 и sin(60) = √3/2, подставляем: cos(60 - a) = (1/2) * cos(a) + (√3/2) * sin(a).
6. Теперь подставим это в левую часть: sin(30 - a) - cos(60 - a) = [(1/2) * cos(a) - (√3/2) * sin(a)] - [(1/2) * cos(a) + (√3/2) * sin(a)].
7. Сокращаем: sin(30 - a) - cos(60 - a) = -√3 * sin(a).
8. Таким образом, мы получили: -√3 * sin(a) = -√3 * sinA, что и требовалось доказать.

В результате, оба тождества доказаны при помощи формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.