2025-08-30 07:12:28
Используя метод математической индукции, докажите, что сумма первых n нечётных чисел равна n^2.
Математика 10 класс Математическая индукция метод математической индукции сумма нечётных чисел доказательство суммы n нечётные числа N в квадрате математика 10 класс свойства чисел арифметические последовательности
2025-08-30 07:12:35
Чтобы доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n^2, мы будем использовать метод математической индукции. Этот метод состоит из двух основных шагов: базового случая и индукционного шага.
Шаг 1: Базовый случайДля n = 1, сумма первых n нечётных чисел равна 1. Проверим, равна ли эта сумма n^2:
- Сумма первых 1 нечётного числа: 1.
- n^2 = 1^2 = 1.
Таким образом, для n = 1, сумма первых n нечётных чисел действительно равна n^2. Базовый случай выполнен.
Шаг 2: Индукционный шагПредположим, что для некоторого натурального числа k верно, что сумма первых k нечётных чисел равна k^2. То есть:
S(k) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2.
Теперь мы должны доказать, что это верно и для k + 1. То есть нужно показать, что:
S(k + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2.
Запишем сумму S(k + 1):
- S(k + 1) = S(k) + (2(k + 1) - 1).
- По предположению индукции, S(k) = k^2.
- Таким образом, S(k + 1) = k^2 + (2(k + 1) - 1).
Теперь упростим правую часть:
- S(k + 1) = k^2 + (2k + 2 - 1) = k^2 + 2k + 1.
- Это можно записать как (k + 1)^2.
Таким образом, мы получили, что S(k + 1) = (k + 1)^2.
ЗаключениеМы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1. Поскольку базовый случай верен, по принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел n.
Таким образом, мы доказали, что сумма первых n нечётных чисел равна n^2.