2025-04-30 10:07:49
Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Какое расстояние между точками касания A и B, если угол ∠АОВ равен 120° и длина MO составляет 14?
Математика 10 класс Касательные к окружности и свойства окружности математика 10 класс задача на касательные угол АОВ расстояние между точками окружность с центром О Новый
2025-04-30 10:08:30
Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства касательных к окружности и некоторые геометрические теоремы.
Давайте разберем шаги решения:
- Определим элементы задачи:
- М - точка вне окружности, откуда проведены касательные.
- О - центр окружности.
- A и B - точки касания касательных с окружностью.
- Угол ∠АОВ = 120°.
- Длина MO = 14.
- Используем свойства касательных:
- Касательные к окружности из одной точки равны. То есть MA = MB.
- Угол между радиусом, проведенным в точку касания, и касательной равен 90°. Поэтому угол ∠MAO и угол ∠MBO равны 90°.
- Найдем угол ∠AMB:
- Угол ∠AOB = 120°.
- Угол ∠AMB = 180° - ∠AOB = 180° - 120° = 60°.
- Используем теорему о треугольнике:
- Треугольник OMA и треугольник OMB являются равнобедренными, так как OA = OB (радиусы окружности).
- Сторона MO является общей для обоих треугольников и равна 14.
- Теперь мы можем использовать закон косинусов в треугольнике OAB для нахождения длины AB.
- Применяем закон косинусов:
- Согласно закону косинусов, AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(∠AOB).
- Поскольку OA = OB = r (радиус окружности), подставляем значения:
- AB^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(120°).
- cos(120°) = -0.5, поэтому:
- AB^2 = 2r^2 + r^2 = 3r^2.
- Таким образом, AB = r * √3.
- Находим радиус окружности:
- Используем теорему Пифагора для треугольника OMA:
- MO^2 = OA^2 + MA^2.
- 14^2 = r^2 + MA^2.
- MA = r (так как MA = MB), и подставляем:
- 14^2 = r^2 + r^2 = 2r^2.
- Таким образом, 196 = 2r^2, откуда r^2 = 98, и r = √98 = 7√2.
- Теперь находим длину AB:
- AB = r * √3 = 7√2 * √3 = 7√6.
Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно 7√6.
