2025-09-06 08:25:56
Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность, и продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точке M. Как можно доказать, что треугольники MBC и MDA подобны?
Математика 10 класс Подобие треугольников четырехугольник ABCD окружность треугольники MBC и MDA подобие треугольников доказательство подобия геометрия продолжения сторон свойства четырёхугольников
2025-09-06 08:26:08
Чтобы доказать, что треугольники MBC и MDA подобны, воспользуемся свойствами описанного четырехугольника и некоторыми угловыми соотношениями.
Шаг 1: Определим углы.
Так как четырехугольник ABCD описан около окружности, то выполняется следующее свойство: сумма противоположных углов равна 180 градусам. То есть:
- ∠A + ∠C = 180°
- ∠B + ∠D = 180°
Шаг 2: Рассмотрим углы треугольников MBC и MDA.
Теперь посмотрим на углы в треугольниках MBC и MDA:
- Угол ∠MBC равен углу ∠D (так как они являются накрест лежащими углами, когда стороны AB и CD продлеваются и пересекаются).
- Угол ∠MDA равен углу ∠B (также накрест лежащие углы).
Шаг 3: Установим равенство углов.
Таким образом, мы имеем:
- ∠MBC = ∠D
- ∠MDA = ∠B
Также, по свойству описанного четырехугольника, мы знаем, что:
- ∠B + ∠D = 180°
Шаг 4: Применяем признак подобия треугольников.
Теперь мы можем сказать, что:
- ∠MBC + ∠MDA = ∠D + ∠B = 180°.
Таким образом, в треугольниках MBC и MDA:
- ∠MBC = ∠D
- ∠MDA = ∠B
- ∠MBC + ∠MDA = 180°.
Поэтому, по двум углам (углы MBC и MDA) и углу между ними, мы можем утверждать, что треугольники MBC и MDA подобны по признаку углов.
Вывод:
Таким образом, мы доказали, что треугольники MBC и MDA подобны.