Давайте поэтапно разберем, как изобразить комплексные числа на комплексной плоскости и найти их модуль и аргумент.

Комплексная плоскость состоит из двух осей: горизонтальной (ось действительных чисел) и вертикальной (ось мнимых чисел). Комплексное число имеет вид z = a + bi, где a - действительная часть, а b - мнимая часть.

Теперь мы изобразим каждое из заданных комплексных чисел:

• z1 = -4 + 4i:
  • Действительная часть: -4 (по оси x)
  • Мнимая часть: 4 (по оси y)

  Точка будет находиться в квадранте II.

• z2 = 3.5i:
  • Действительная часть: 0 (по оси x)
  • Мнимая часть: 3.5 (по оси y)

  Точка будет находиться на оси мнимых чисел.

• z3 = -2:
  • Действительная часть: -2 (по оси x)
  • Мнимая часть: 0 (по оси y)

  Точка будет находиться на оси действительных чисел.

Теперь найдем комплексно-сопряженные значения этих чисел:

• z1* = -4 - 4i
• z2* = -3.5i
• z3* = -2

Теперь давайте найдем модуль и аргумент каждого из этих чисел.

Модуль

Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле: |z| = √(a² + b²).

• Для z1 = -4 + 4i:
  • Модуль: |z1| = √((-4)² + (4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
• Для z2 = 3.5i:
  • Модуль: |z2| = √(0² + (3.5)²) = √(0 + 12.25) = 3.5.
• Для z3 = -2:
  • Модуль: |z3| = √((-2)² + 0²) = √(4) = 2.

Аргумент

Аргумент комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле: arg(z) = arctan(b/a), с учетом квадранта, в котором находится число.

• Для z1 = -4 + 4i:
  • arg(z1) = arctan(4 / -4) = arctan(-1) = 3π/4 (второй квадрант).
• Для z2 = 3.5i:
  • arg(z2) = arctan(3.5 / 0) = π/2 (на оси мнимых чисел).
• Для z3 = -2:
  • arg(z3) = arctan(0 / -2) = π (на оси действительных чисел).

Таким образом, мы изобразили комплексные числа на плоскости, нашли их комплексно-сопряженные значения, а также вычислили модуль и аргумент для каждого из них.