Чтобы доказать, что функция y = 2cos(4x) является периодической с периодом T = π/2, нужно выполнить несколько шагов.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число T, что для любого x выполняется равенство:

y(x + T) = y(x)

Это значит, что функция повторяется через каждые T единиц по оси x.

Функция косинуса имеет период 2π. Если в аргументе косинуса стоит множитель k, то период функции изменяется и вычисляется по формуле:

T = 2π / k

В нашем случае k = 4, так как мы имеем cos(4x).

Теперь подставим k в формулу для нахождения периода:

• T = 2π / 4
• T = π / 2

Теперь мы можем проверить, что y(x + T) = y(x) для T = π/2:

1. Подставим x + T в функцию:
2. y(x + π/2) = 2cos(4(x + π/2))
3. Раскроем скобки:
4. y(x + π/2) = 2cos(4x + 2π)
5. Используем свойство косинуса: cos(θ + 2π) = cos(θ):
6. y(x + π/2) = 2cos(4x)

Таким образом, y(x + π/2) = y(x).

Мы доказали, что функция y = 2cos(4x) является периодической с периодом T = π/2, так как выполняется условие y(x + T) = y(x) для T = π/2.