Как можно доказать, что точка M, в которой пересекаются биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD, является серединой стороны AD?

Математика 10 класс Биссектрисы углов и свойства параллелограмма биссектрисы угол B угол C параллелограмм ABCD точка M середина стороны AD доказательство свойства параллелограмма геометрия 10 класс математика Новый

Чтобы доказать, что точка M, в которой пересекаются биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD, является серединой стороны AD, давайте рассмотрим следующий план доказательства.

1. Свойства параллелограмма:

   Параллелограмм — это четырёхугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны. В параллелограмме также противоположные углы равны.

2. Рассмотрим биссектрисы углов B и C:

   Биссектриса угла — это отрезок, который делит угол на два равных угла. В нашем случае, биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M.

3. Рассмотрим треугольники:

   Поскольку M — точка пересечения биссектрис, она делит углы B и C на два равных угла. Рассмотрим треугольники BMC и BMD.

4. Свойства биссектрисы:

   Биссектрисы углов B и C в треугольниках BMC и BMD делят противоположные стороны в равных отношениях. Это значит, что:

   • Отношение BM к MD равно отношению BC к CD,
   • Отношение CM к MB равно отношению CD к DB.
5. Равенство отношений:

   Так как в параллелограмме BC = AD и CD = AB, мы можем сказать, что:

   • BM / MD = BC / CD = AD / AB
   • CM / MB = CD / DB = AB / AD
6. Вывод:

   Из равенства этих отношений следует, что точка M делит сторону AD пополам. То есть, AM = MD. Таким образом, точка M является серединой стороны AD.

Таким образом, мы доказали, что точка M, в которой пересекаются биссектрисы углов B и C, действительно является серединой стороны AD в параллелограмме ABCD.