Чтобы найти первообразную функции f(x), нам нужно проинтегрировать её производную f'(x) = 20x³. Интегрирование - это процесс нахождения функции, производная которой равна данной функции.

Шаги решения:

1. Интегрируем производную: Нам нужно найти интеграл от 20x³. Мы используем правило интегрирования, которое говорит, что интеграл x^n равен x^(n+1)/(n+1), где n - степень переменной.
2. В нашем случае, n = 3, поэтому:
• Интеграл от 20x³ равен 20 * (x^(3+1)/(3+1)) = 20 * (x^4/4) = 5x^4.
3. Не забываем о константе интегрирования: Так как мы ищем первообразную, нам нужно добавить произвольную константу C. Таким образом, f(x) = 5x^4 + C.
4. Используем условия, чтобы найти C: У нас есть две точки, через которые проходит график функции: A(1; 5) и B(-1; -1).
5. Подставим первую точку A(1; 5):
• f(1) = 5(1)^4 + C = 5 + C = 5.
• Отсюда следует, что C = 0.
6. Теперь подставим вторую точку B(-1; -1):
• f(-1) = 5(-1)^4 + C = 5 + C = -1.
• Отсюда следует, что C = -6.

Теперь у нас есть значение C, и функция будет выглядеть так:

f(x) = 5x^4 - 6.

Теперь сравним с предложенными вариантами ответов:

• x⁵ + 2x - 2
• x⁵ + 2x + 2
• x³ + 2x + 2
• x⁴ + 2x + 2

К сожалению, ни один из предложенных вариантов не совпадает с найденной первообразной 5x^4 - 6. Возможно, в условии задачи или в вариантах ответов есть ошибка.