Для нахождения площади поверхности, ограниченной кривыми, нам нужно сначала определить, какие области мы будем интегрировать. В данном случае у нас есть две функции: y = x^2 - 6x и 3x - y - 9 = 0, которую можно переписать в виде y = 3x - 9.

Следующий шаг — найти точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их:

1. x^2 - 6x = 3x - 9
2. Переносим все члены в одну сторону: x^2 - 6x - 3x + 9 = 0
3. Упрощаем: x^2 - 9x + 9 = 0
4. Теперь используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4*1*9 = 81 - 36 = 45
5. Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня. Находим их: x = (9 ± sqrt(45)) / 2.

Теперь, чтобы найти площадь между этими кривыми, мы будем интегрировать разность верхней функции и нижней функции на интервале, который мы нашли. В данном случае, верхней функцией является y = 3x - 9, а нижней y = x^2 - 6x.

Площадь A между кривыми можно найти по формуле:

где f(x) — верхняя функция, а g(x) — нижняя функция. В нашем случае это будет:

Упрощаем подынтегральное выражение:

Теперь нужно определить пределы интегрирования. Они равны x1 и x2, которые мы нашли ранее:

Теперь вычисляем интеграл:

1. Находим неопределенный интеграл: ∫(-x^2 + 9x - 9) dx = -x^3/3 + (9/2)x^2 - 9x + C
2. Подставляем пределы интегрирования: A = [(-x^3/3 + (9/2)x^2 - 9x)] от x1 до x2

После подстановки значений x1 и x2 (которые мы нашли ранее),мы можем вычислить площадь A.

Таким образом, мы нашли площадь поверхности, ограниченной двумя кривыми, используя интеграл.