Как можно объяснить, что функция y=f(x) называется ограниченной на заданном множестве? Какое условие должно выполняться, чтобы это утверждение было верным?

Математика 10 класс Ограниченные функции функция y=f(x) ограниченная функция заданное множество условие математика 10 класс свойства функций анализ функции пределы функции теория функций Новый

Когда мы говорим, что функция y = f(x) является ограниченной на заданном множестве, мы имеем в виду, что значения этой функции не выходят за пределы некоторых фиксированных чисел (границ) на этом множестве. Давайте разберем это понятие подробнее.

Функция y = f(x) будет считаться ограниченной на множестве X, если существуют такие два числа, m и M, что для всех x из множества X выполняется следующее условие:

• m ≤ f(x) ≤ M

Это означает, что:

1. Число m является нижней границей значений функции на множестве X. То есть функция никогда не принимает значения меньше m на этом множестве.
2. Число M является верхней границей значений функции на множестве X. То есть функция никогда не принимает значения больше M на этом множестве.

Если такие числа m и M существуют, то функция считается ограниченной на данном множестве. Если хотя бы одно из этих чисел не существует, то функция будет считаться неограниченной.

Пример: Рассмотрим функцию f(x) = sin(x) на множестве всех действительных чисел. Мы знаем, что для всех x выполняется -1 ≤ sin(x) ≤ 1. Это значит, что функция sin(x) ограничена на множестве всех действительных чисел, и в данном случае m = -1 и M = 1.

Таким образом, чтобы функция была ограниченной на заданном множестве, необходимо, чтобы существовали такие границы, которые сдерживали бы все значения функции на этом множестве в пределах от m до M.