Как найти радиус окружности r, если AD - касательная к окружности, хорда AB равна 12, а угол BAD равен 30 градусов?

Математика 10 класс Касательные и секущие к окружности радиус окружности касательная к окружности хорда AB угол BAD задача по математике геометрия окружности решение задачи радиус через касательную угол и хорда методы решения задач Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства касательной и треугольников. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти радиус окружности r.

1. Построим схему: Начертим окружность с центром O, касательную AD и хорду AB. Угол BAD равен 30 градусов.
2. Используем свойства касательной: Касательная AD перпендикулярна радиусу OA, который проведен в точку касания A. Это значит, что угол OAD равен 90 градусов.
3. Обозначим необходимые элементы: Пусть OA = r (радиус окружности), AB = 12 (длина хорды), угол BAD = 30 градусов.
4. Рассмотрим треугольник OAB: Мы можем использовать теорему синусов или косинусов, но проще всего будет воспользоваться свойствами углов. В треугольнике OAD, угол OAD равен 90 градусов, а угол BAD равен 30 градусов. Следовательно, угол AOB равен 60 градусов (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов).
5. Используем теорему косинусов: В треугольнике OAB, где OA = r, AB = 12, и угол AOB = 60 градусов, мы можем записать:
   • AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(AOB)
   • 12^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(60°)
   • 12^2 = 2r^2 - r^2
   • 12^2 = r^2 (так как cos(60°) = 0.5)
6. Решим уравнение: 144 = r^2, откуда r = √144 = 12.

Таким образом, радиус окружности r равен 12. Это решение показывает, как использовать свойства треугольников и углов для нахождения радиуса окружности через касательную и хорду.