Как найти решение уравнения: log3(5×+1)=2 log3(7x - 1)?

Математика 10 класс Логарифмы и логарифмические уравнения уравнение логарифмы решение математика 10 класс log3 algebra математические задачи нахождение x Новый

Чтобы решить уравнение log3(5x + 1) = 2 log3(7x - 1), следуем следующим шагам:

1. Используем свойства логарифмов. У нас есть 2 log3(7x - 1). Мы можем переписать это с использованием свойства логарифмов, которое гласит, что a * logb(c) = logb(c^a). Таким образом, 2 log3(7x - 1) можно записать как log3((7x - 1)^2).
2. Переписываем уравнение. Теперь уравнение выглядит так: log3(5x + 1) = log3((7x - 1)^2).
3. Приравниваем аргументы логарифмов. Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, если и только если равны их аргументы, мы можем записать: 5x + 1 = (7x - 1)^2.
4. Раскрываем квадрат. Раскроем правую часть уравнения: (7x - 1)^2 = 49x^2 - 14x + 1.
5. Составляем уравнение. Теперь у нас есть: 5x + 1 = 49x^2 - 14x + 1.
6. Упрощаем уравнение. Переносим все члены в одну сторону: 0 = 49x^2 - 14x + 1 - 5x - 1. Упрощаем: 0 = 49x^2 - 19x.
7. Вынесем общий множитель. Вынесем x: 0 = x(49x - 19).
8. Находим корни. У нас есть произведение, равное нулю, следовательно, один из множителей равен нулю: x = 0 или 49x - 19 = 0. Решаем второе уравнение: 49x = 19, x = 19/49.
9. Проверяем корни. Теперь проверим, подходят ли найденные значения x в исходное уравнение:
   • Для x = 0: log3(5*0 + 1) = log3(1) = 0, и 2 log3(7*0 - 1) не определен, так как log3(-1) невозможно.
   • Для x = 19/49: подставляем это значение и проверяем, что обе части уравнения равны.

Таким образом, единственным допустимым решением уравнения является x = 19/49.