Как провести полное исследование функции y=2x^3-9x^2+12x-5? Помогите, пожалуйста...

Математика 10 класс Исследование функции исследование функции математика 10 класс график функции анализ функции полное исследование функции Новый

Чтобы провести полное исследование функции y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5, мы будем следовать нескольким шагам:

1. Определение области определения функции.

   Поскольку это многочлен, область определения функции - все действительные числа. То есть, x принадлежит R.

2. Нахождение производной функции.

   Для исследования функции необходимо найти первую производную:

   y' = d(2x^3 - 9x^2 + 12x - 5)/dx = 6x^2 - 18x + 12.

3. Нахождение критических точек.

   Для этого приравняем первую производную к нулю:

   6x^2 - 18x + 12 = 0.

   Упростим уравнение, разделив все члены на 6:

   x^2 - 3x + 2 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение:

   (x - 1)(x - 2) = 0.

   Таким образом, критические точки: x = 1 и x = 2.

4. Исследование знака производной.

   Теперь определим знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

   • Для x < 1: возьмем, например, x = 0. y' = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12 (положительно).
   • Для 1 < x < 2: возьмем, например, x = 1.5. y' = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = -1.5 (отрицательно).
   • Для x > 2: возьмем, например, x = 3. y' = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 12 (положительно).

   Таким образом, производная положительна на интервале (-∞, 1), отрицательна на (1, 2) и снова положительна на (2, ∞). Это означает, что в точке x = 1 у нас максимум, а в точке x = 2 - минимум.

5. Нахождение значений функции в критических точках.

   Теперь найдем значения функции в критических точках:

   • y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 5 = 2 - 9 + 12 - 5 = 0.
   • y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 5 = 16 - 36 + 24 - 5 = -1.

   Таким образом, мы имеем: максимум в точке (1, 0) и минимум в точке (2, -1).

6. Нахождение пределов функции.

   Теперь найдем пределы функции при x стремящемся к бесконечности:

   • При x → +∞: y → +∞ (ведущий член 2x^3 определяет поведение функции).
   • При x → -∞: y → -∞ (также определяется ведущим членом).
7. Построение графика функции.

   С учетом всех найденных данных, мы можем построить график функции:

   • Максимум в (1, 0).
   • Минимум в (2, -1).
   • Функция убывает на интервале (1, 2) и возрастает на интервалах (-∞, 1) и (2, ∞).

Таким образом, полное исследование функции y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5 завершено. Мы нашли критические точки, исследовали знак производной и определили поведение функции на бесконечности.