Как решить неравенство: а) log (1 / 6)(10 - x) + log(1 / 6)(x - 3) ≥ -1?

Математика 10 класс Логарифмические неравенства неравенство логарифмы математика 10 класс решение неравенств логарифмическое неравенство Новый

Для решения неравенства log (1 / 6)(10 - x) + log(1 / 6)(x - 3) ≥ -1, мы будем следовать нескольким шагам. Начнем с упрощения левой части неравенства.

1. Используем свойство логарифмов: log(a) + log(b) = log(a * b). В нашем случае:
• log(1 / 6)((10 - x)(x - 3)) ≥ -1
2. Теперь преобразуем правую часть неравенства. Мы знаем, что log(a) ≥ b эквивалентно a ≥ 6^b, если основание логарифма меньше 1 (в нашем случае 1/6). Поэтому:
• (10 - x)(x - 3) ≤ 6^(-1)
• (10 - x)(x - 3) ≤ 1/6
3. Теперь раскроем скобки:
• (10 - x)(x - 3) = 10x - 30 - x^2 + 3x = -x^2 + 13x - 30
4. Таким образом, неравенство принимает вид:
• -x^2 + 13x - 30 ≤ 1/6
5. Умножим все части неравенства на 6, чтобы избавиться от дроби (не изменяя знак неравенства, так как 6 > 0):
• -6x^2 + 78x - 180 ≤ 1
• -6x^2 + 78x - 181 ≤ 0
6. Теперь умножим неравенство на -1 (при этом знак неравенства изменится):
• 6x^2 - 78x + 181 ≥ 0
7. Теперь найдем корни квадратного уравнения 6x^2 - 78x + 181 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-78)^2 - 4 * 6 * 181 = 6084 - 4344 = 1740
8. Теперь находим корни:
• x1,2 = (78 ± √1740) / (2 * 6)
• Корни будут действительными, так как D > 0.
9. Теперь можем записать неравенство:
• 6x^2 - 78x + 181 ≥ 0
10. Так как парабола открыта вверх (коэффициент при x^2 положительный), то неравенство выполняется вне интервала между корнями. То есть, мы ищем x, которые меньше первого корня или больше второго корня.

Не забудьте проверить, чтобы значения x удовлетворяли условиям логарифма: 10 - x > 0 и x - 3 > 0, что дает:

• x < 10
• x > 3

В итоге, решив неравенство и проверив условия, вы получите окончательное решение.