Как решить неравенство x^2 + y^2 + 8 >= 4(x + y)?

Математика 10 класс Неравенства с двумя переменными неравенство решение неравенства математика 10 класс x^2 + y^2 4(x + y) алгебра задачи по математике Новый

Чтобы решить неравенство x^2 + y^2 + 8 >= 4(x + y), начнем с его преобразования. Мы можем переписать неравенство, переместив все члены в одну сторону:

x^2 + y^2 + 8 - 4(x + y) >= 0

Теперь упростим это выражение:

• Раскроем скобки:

x^2 + y^2 + 8 - 4x - 4y >= 0

Теперь сгруппируем подобные члены:

x^2 - 4x + y^2 - 4y + 8 >= 0

Следующим шагом будет выделение полного квадрата для x и y. Начнем с x:

• Для x^2 - 4x выделим полный квадрат:

x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4

Теперь сделаем то же самое для y:

• Для y^2 - 4y выделим полный квадрат:

y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4

Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

(x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 8 >= 0

Упростим это:

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 >= 0

Теперь обратим внимание, что сумма квадратов всегда неотрицательна. То есть (x - 2)^2 >= 0 и (y - 2)^2 >= 0 для всех x и y. Таким образом, сумма этих квадратов также будет всегда неотрицательной.

Следовательно, неравенство (x - 2)^2 + (y - 2)^2 >= 0 выполняется для всех значений x и y.

Ответ: Неравенство x^2 + y^2 + 8 >= 4(x + y) выполняется для всех значений x и y.