Как решить следующие уравнения и упростить выражение:

1. Показательное уравнение: 2^x - 7x + 12 = 1
2. Логарифмическое уравнение: log5^(x + 10) = 2
3. Упростить выражение: sin^2x + tg^2x + cos^2x

Математика 10 класс Уравнения и выражения с показателями, логарифмами и тригонометрией решение уравнений показательное уравнение Логарифмическое уравнение Упрощение выражения тригонометрические функции математика 10 класс Новый

Давайте разберем каждое из уравнений и упрощение выражения по очереди.

1. Показательное уравнение: 2^x - 7x + 12 = 1

1. Сначала перенесем 1 на левую сторону уравнения:
2^x - 7x + 12 - 1 = 0
2. Упростим уравнение:
2^x - 7x + 11 = 0
3. Теперь мы можем попробовать подставить разные значения x, чтобы найти корни уравнения. Начнем с целых чисел:
• Для x = 3: 2^3 - 7*3 + 11 = 8 - 21 + 11 = -2 (не подходит)
• Для x = 4: 2^4 - 7*4 + 11 = 16 - 28 + 11 = -1 (не подходит)
• Для x = 5: 2^5 - 7*5 + 11 = 32 - 35 + 11 = 8 (не подходит)
• Для x = 2: 2^2 - 7*2 + 11 = 4 - 14 + 11 = 1 (подходит)
4. Мы нашли один корень: x = 2. Проверим, есть ли еще корни, например, x = 1:
• Для x = 1: 2^1 - 7*1 + 11 = 2 - 7 + 11 = 6 (не подходит)
5. Поскольку у нас есть только один корень, ответ: x = 2.

2. Логарифмическое уравнение: log5^(x + 10) = 2

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:
x + 10 = 5^2
2. Вычислим 5^2:
x + 10 = 25
3. Теперь решим для x, вычитая 10 из обеих сторон:
x = 25 - 10 x = 15
4. Ответ: x = 15.

3. Упростить выражение: sin^2x + tg^2x + cos^2x

1. Вспомним, что tg^2x = sin^2x / cos^2x. Подставим это в выражение:
sin^2x + (sin^2x / cos^2x) + cos^2x
2. Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет cos^2x:
(sin^2x * cos^2x / cos^2x) + (sin^2x / cos^2x) + (cos^2x * cos^2x / cos^2x)
3. Теперь мы можем объединить дроби:
(sin^2x * cos^2x + sin^2x + cos^4x) / cos^2x
4. Здесь мы можем заметить, что sin^2x + cos^2x = 1. Подставим это:
(cos^4x + 1 * cos^2x) / cos^2x
5. Теперь упростим числитель:
(cos^4x + cos^2x) / cos^2x = cos^2x + 1
6. Таким образом, окончательный ответ: sin^2x + tg^2x + cos^2x = cos^2x + 1.

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!