Как решить уравнение: x ^ 2 + (81x ^ 2)/((9 + x) ^ 2) = 40?

Математика 10 класс Уравнения с дробями и квадратными выражениями уравнение решение уравнения математика 10 класс квадратное уравнение алгебра X в квадрате математические задачи дробные уравнения Новый

Решим уравнение:

x^2 + (81x^2)/((9 + x)^2) = 40

Первым шагом будет приведение уравнения к общему виду. Упростим его, переместив 40 в левую часть:

x^2 + (81x^2)/((9 + x)^2) - 40 = 0

Теперь давайте обозначим y = (9 + x)^2. Тогда мы можем выразить x через y:

x = sqrt(y) - 9

Теперь подставим это значение x в уравнение:

(sqrt(y) - 9)^2 + (81(sqrt(y) - 9)^2)/y = 40

Раскроем скобки и упростим уравнение:

1. Сначала найдем (sqrt(y) - 9)^2:
• (sqrt(y) - 9)(sqrt(y) - 9) = y - 18sqrt(y) + 81
2. Теперь подставим это в уравнение:
• y - 18sqrt(y) + 81 + (81(y - 18sqrt(y) + 81))/y = 40
3. Упростим вторую часть уравнения:
• 81(y - 18sqrt(y) + 81)/y = 81 - 1458/y + 6561/y

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Однако, чтобы избежать сложностей с дробями, давайте вернемся к исходному уравнению:

x^2 + (81x^2)/((9 + x)^2) = 40

Умножим обе стороны на (9 + x)^2, чтобы избавиться от дроби:

x^2(9 + x)^2 + 81x^2 = 40(9 + x)^2

Теперь раскроем скобки:

x^2(81 + 18x + x^2) + 81x^2 = 40(81 + 18x + x^2)

Объединим все части уравнения:

x^4 + 99x^2 - 720 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно x^2. Обозначим z = x^2. У нас получится:

z^2 + 99z - 720 = 0

Теперь можем решить это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 99^2 - 4 * 1 * (-720)

Теперь найдем D:

D = 9801 + 2880 = 12681

Теперь найдем корни уравнения:

z = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-99 ± sqrt(12681)) / 2

После нахождения корней z, мы можем найти x, так как x = sqrt(z).

Таким образом, мы нашли решение уравнения. Теперь подставьте значения, чтобы найти окончательные корни.