Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х² и у=1?

Математика 10 класс Площадь фигур, ограниченных графиками функций площадь фигуры у=x² у=1 вычисление площади математические задачи интегралы графики функций пересечение кривых Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 1, следуйте этим шагам:

1. Найдите точки пересечения кривых.

   Для этого нужно решить уравнение:

   x² = 1

   Решая это уравнение, мы получаем:

   • x = 1
   • x = -1

   Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 1.

2. Определите, какую функцию нужно интегрировать.

   Фигура, ограниченная этими линиями, находится между y = x² и y = 1.

   Чтобы найти площадь, нужно интегрировать разность верхней и нижней функции:

   P = ∫ (1 - x²) dx

   где 1 - верхняя функция, а x² - нижняя.

3. Установите пределы интегрирования.

   Пределы интегрирования будут от x = -1 до x = 1.

4. Выполните интегрирование.

   Теперь вычислим интеграл:

   P = ∫ (1 - x²) dx от -1 до 1

   Интеграл можно разделить на два отдельных интеграла:

   P = ∫ 1 dx - ∫ x² dx

   Вычисляем каждый из них:

   • ∫ 1 dx = x
   • ∫ x² dx = (x³)/3

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   P = [x] от -1 до 1 - [(x³)/3] от -1 до 1

   Подставляем пределы:

   P = [1 - (-1)] - [(1/3) - (-1/3)]

   Вычисляем:

   • 1 - (-1) = 2
   • (1/3) - (-1/3) = 2/3

   Теперь подставим все в формулу:

   P = 2 - (2/3) = 6/3 - 2/3 = 4/3

5. Запишите окончательный ответ.

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 1, равна 4/3.