Какое наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 превращается в квадрат натурального числа, а при умножении на 3 — в куб натурального числа?

Математика 10 класс Делимость и наименьшее общее кратное Наименьшее натуральное число умножение на 2 квадрат натурального числа умножение на 3 куб натурального числа Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Нам нужно найти наименьшее натуральное число x, которое при умножении на 2 превращается в квадрат натурального числа, а при умножении на 3 — в куб натурального числа. Это можно записать в виде двух условий:

• 2x = a^2 для некоторого натурального числа a (квадрат)
• 3x = b^3 для некоторого натурального числа b (куб)

Из первого условия мы можем выразить x:

1. Из 2x = a^2 получаем x = a^2 / 2.

Поскольку x должно быть натуральным числом, значит a^2 должно быть четным, а это возможно только в том случае, если a также четное. Пусть a = 2k для некоторого натурального k. Тогда:

1. x = (2k)^2 / 2 = 2k^2.

Теперь подставим x во второе условие:

1. Подставляем: 3(2k^2) = b^3.
2. Это упрощается до 6k^2 = b^3.

Теперь мы должны найти такие k и b, чтобы 6k^2 было кубом. Разложим 6 на простые множители:

• 6 = 2 * 3.

Таким образом, 6k^2 = 2^1 * 3^1 * k^2. Чтобы 6k^2 было кубом, все степени простых множителей должны быть кратны 3. Рассмотрим степени:

• Степень 2: 1 + 2m (m — натуральное число, отвечающее за степень k) должна быть кратна 3.
• Степень 3: 1 + 2n (n — натуральное число, отвечающее за степень k) должна быть кратна 3.

Решим эти условия:

• Для степени 2: 1 + 2m ≡ 0 (mod 3) ⇒ 2m ≡ 2 (mod 3) ⇒ m ≡ 1 (mod 3).
• Для степени 3: 1 + 2n ≡ 0 (mod 3) ⇒ 2n ≡ 2 (mod 3) ⇒ n ≡ 1 (mod 3).

Наименьшие значения, которые удовлетворяют этим условиям:

• m = 1 ⇒ k = 3
• n = 1 ⇒ k = 3

Теперь подставим k = 3 в выражение для x:

1. x = 2k^2 = 2 * 3^2 = 2 * 9 = 18.

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условиям задачи, равно 18.

Ответ: 18.