Какое наименьшее значение многочлена x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14 и при каких значениях числа a уравнение a * (a+2) * x = 1 - x не имеет решений?

Математика 10 класс Оптимизация многочленов и уравнения наименьшее значение многочлена уравнение a * (a+2) * x = 1 - x значения числа a многочлен x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14 решения уравнения Новый

Давайте решим обе части вашего вопроса по порядку.

Часть 1: Наименьшее значение многочлена

Многочлен, который нам дан, имеет вид:

x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 14

Сначала мы можем упростить его, выделив полный квадрат для переменной x и переменной y.

1. Для x^2 - 2x:
   • Мы можем выделить полный квадрат: x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1.
2. Для 2y^2 + 8y:
   • Сначала вынесем 2: 2(y^2 + 4y).
   • Теперь выделим полный квадрат: y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.
   • Таким образом, 2(y^2 + 4y) = 2((y + 2)^2 - 4) = 2(y + 2)^2 - 8.

Теперь подставим это обратно в наш многочлен:

(x - 1)^2 - 1 + 2((y + 2)^2 - 4) + 14.

Упрощаем:

(x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 - 1 - 8 + 14 = (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 + 5.

Теперь мы видим, что (x - 1)^2 и 2(y + 2)^2 всегда неотрицательны, так как это квадраты. Наименьшее значение (x - 1)^2 равно 0, когда x = 1, и наименьшее значение 2(y + 2)^2 равно 0, когда y = -2.

Таким образом, наименьшее значение всего многочлена:

0 + 0 + 5 = 5.

Ответ: Наименьшее значение многочлена равно 5, когда x = 1 и y = -2.

Часть 2: Уравнение a * (a + 2) * x = 1 - x не имеет решений

Рассмотрим уравнение:

a * (a + 2) * x = 1 - x.

Перепишем его в более удобной форме:

(a * (a + 2) + 1)x = 1.

Теперь мы видим, что уравнение имеет решения, если коэффициент перед x не равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. Если a * (a + 2) + 1 = 0, то уравнение не имеет решений.
2. Решим уравнение a * (a + 2) + 1 = 0:

Это уравнение можно привести к стандартному виду:

a^2 + 2a + 1 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу для нахождения корней:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = 1.

В данном случае дискриминант равен:

D = 2^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0.

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

a = (-2 ± 0) / 2 = -1.

Ответ: Уравнение a * (a + 2) * x = 1 - x не имеет решений при a = -1.