Какое значение имеет определённый интеграл:

1. 1) ∫(x^2 - x) dx от 0 до 1
2. 2) ∫(2 sin(x/3)) dx от 0 до π

Математика 10 класс Определённый интеграл определенный интеграл интеграл от 0 до 1 интеграл от 0 до π математика 10 класс вычисление интегралов Новый

Давайте решим оба интеграла шаг за шагом.

1) Интеграл ∫(x^2 - x) dx от 0 до 1:

1. Сначала найдем неопределённый интеграл функции x^2 - x. Для этого воспользуемся правилом интегрирования:
• ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - константа интегрирования.
2. Теперь применим это правило к каждому члену:
• ∫x^2 dx = (x^3)/3,
• ∫(-x) dx = (-x^2)/2.
3. Таким образом, неопределённый интеграл будет равен:
• ∫(x^2 - x) dx = (x^3)/3 - (x^2)/2 + C.
4. Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:
• F(1) = (1^3)/3 - (1^2)/2 = 1/3 - 1/2 = 1/3 - 3/6 = -1/6,
• F(0) = (0^3)/3 - (0^2)/2 = 0.
5. Теперь найдем значение определённого интеграла:
• ∫(x^2 - x) dx от 0 до 1 = F(1) - F(0) = -1/6 - 0 = -1/6.

Ответ: ∫(x^2 - x) dx от 0 до 1 = -1/6.

2) Интеграл ∫(2 sin(x/3)) dx от 0 до π:

1. Сначала найдем неопределённый интеграл функции 2 sin(x/3). Для этого воспользуемся правилом интегрирования тригонометрических функций:
• ∫sin(kx) dx = - (1/k) cos(kx) + C, где k - коэффициент при x.
2. В нашем случае k = 1/3, следовательно:
• ∫2 sin(x/3) dx = 2 * (-3) cos(x/3) = -6 cos(x/3) + C.
3. Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до π:
• F(π) = -6 cos(π/3) = -6 * (1/2) = -3,
• F(0) = -6 cos(0) = -6 * 1 = -6.
4. Теперь найдем значение определённого интеграла:
• ∫(2 sin(x/3)) dx от 0 до π = F(π) - F(0) = -3 - (-6) = -3 + 6 = 3.

Ответ: ∫(2 sin(x/3)) dx от 0 до π = 3.