Какое значение высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника с периметром 60 см, обеспечит максимальную площадь этого треугольника?

Математика 10 класс Оптимизация площади треугольника равнобедренный треугольник высота основание периметр максимальная площадь математика 10 класс Новый

Чтобы найти значение высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника с заданным периметром, которое обеспечит максимальную площадь, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Определение параметров треугольника:

• Обозначим основание равнобедренного треугольника как "a".
• Обозначим боковые стороны как "b".
• Периметр равен 60 см, поэтому у нас есть уравнение: 2b + a = 60.

2. Формула площади треугольника:

Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:

Площадь (S) = (a * h) / 2, где h – высота, проведенная к основанию a.

3. Выражение высоты через стороны:

Для равнобедренного треугольника высоту можно выразить через боковую сторону b и основание a. Высота h делит основание a на две равные части, то есть:

• Каждая часть основания будет равна a/2.
• По теореме Пифагора можно записать: h = sqrt(b^2 - (a/2)^2).

4. Подставим высоту в формулу площади:

Теперь подставим h в формулу площади:

S = (a * sqrt(b^2 - (a/2)^2)) / 2.

5. Заменим b через a:

Из уравнения периметра можно выразить b:

b = (60 - a) / 2.

Теперь подставим b в формулу площади:

S = (a * sqrt(((60 - a) / 2)^2 - (a/2)^2)) / 2.

6. Найдем производную площади:

Для нахождения максимума площади S, нам нужно найти производную S по a и приравнять её к нулю. Это даст нам значение a, при котором площадь максимальна.

7. Найдем высоту:

После нахождения a, мы можем использовать его для вычисления b и, соответственно, h с помощью формулы h = sqrt(b^2 - (a/2)^2).

8. Итог:

Для равнобедренного треугольника с фиксированным периметром максимальная площадь достигается, когда основание и боковые стороны равны, то есть треугольник становится равносторонним. В этом случае, если периметр равен 60 см, стороны будут равны 20 см. Высота равностороннего треугольника рассчитывается по формуле:

h = (sqrt(3) / 2) * a.

Подставив a = 20 см, получим h = (sqrt(3) / 2) * 20 = 10 * sqrt(3) см.

Таким образом, максимальная высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника с периметром 60 см, равна 10 * sqrt(3) см.