Чтобы найти разницу между максимальным и минимальным значениями выражения ab при условии, что ab = 2a + 5b, начнем с того, что мы можем выразить одно из переменных через другое.

1. Запишем данное уравнение:

ab = 2a + 5b

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

ab - 2a - 5b = 0

3. Теперь давайте выразим b через a:

b(a - 5) = 2a

b = 2a / (a - 5) (при условии, что a ≠ 5)

4. Теперь подставим b обратно в выражение ab:

ab = a * (2a / (a - 5)) = (2a^2) / (a - 5)

5. Для нахождения максимума и минимума этого выражения, мы можем воспользоваться производной. Найдем производную:

f(a) = (2a^2) / (a - 5)

6. Применим правило деления производной:

f'(a) = [2a^2' * (a - 5) - 2a^2 * (a - 5)'] / (a - 5)^2

где a^2' = 2a и (a - 5)' = 1.

7. Подставляем производные:

f'(a) = [2 * 2a * (a - 5) - 2a^2 * 1] / (a - 5)^2

f'(a) = [4a(a - 5) - 2a^2] / (a - 5)^2

f'(a) = [4a^2 - 20a - 2a^2] / (a - 5)^2

f'(a) = [2a^2 - 20a] / (a - 5)^2

8. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

2a^2 - 20a = 0

2a(a - 10) = 0

9. Таким образом, a = 0 или a = 10. Теперь подставим эти значения в выражение для b:

• Если a = 0, то b = 0.
• Если a = 10, то b = 4.

10. Теперь найдем значения ab:

• ab при a = 0 и b = 0: 0 * 0 = 0.
• ab при a = 10 и b = 4: 10 * 4 = 40.

11. Теперь мы можем найти разницу между максимальным и минимальным значениями:

Максимальное значение: 40

Минимальное значение: 0

Разница = 40 - 0 = 40

Таким образом, разница между максимальным и минимальным значениями выражения ab равна 40.