Какова разница между максимальным и минимальным значениями выражения ab, если ab=2a+5b?

Математика 10 класс Оптимизация функций двух переменных разница максимальное минимальное значение выражение ab ab 2a 5b математика 10 класс алгебра 10 класс задачи на оптимизацию Новый

Чтобы найти разницу между максимальным и минимальным значениями выражения ab при условии, что ab = 2a + 5b, начнем с того, что мы можем выразить одно из переменных через другое.

1. Запишем данное уравнение:

ab = 2a + 5b

2. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

ab - 2a - 5b = 0

3. Теперь давайте выразим b через a:

b(a - 5) = 2a

b = 2a / (a - 5) (при условии, что a ≠ 5)

4. Теперь подставим b обратно в выражение ab:

ab = a * (2a / (a - 5)) = (2a^2) / (a - 5)

5. Для нахождения максимума и минимума этого выражения, мы можем воспользоваться производной. Найдем производную:

f(a) = (2a^2) / (a - 5)

6. Применим правило деления производной:

f'(a) = [2a^2' * (a - 5) - 2a^2 * (a - 5)'] / (a - 5)^2

где a^2' = 2a и (a - 5)' = 1.

7. Подставляем производные:

f'(a) = [2 * 2a * (a - 5) - 2a^2 * 1] / (a - 5)^2

f'(a) = [4a(a - 5) - 2a^2] / (a - 5)^2

f'(a) = [4a^2 - 20a - 2a^2] / (a - 5)^2

f'(a) = [2a^2 - 20a] / (a - 5)^2

8. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

2a^2 - 20a = 0

2a(a - 10) = 0

9. Таким образом, a = 0 или a = 10. Теперь подставим эти значения в выражение для b:

• Если a = 0, то b = 0.
• Если a = 10, то b = 4.

10. Теперь найдем значения ab:

• ab при a = 0 и b = 0: 0 * 0 = 0.
• ab при a = 10 и b = 4: 10 * 4 = 40.

11. Теперь мы можем найти разницу между максимальным и минимальным значениями:

Максимальное значение: 40

Минимальное значение: 0

Разница = 40 - 0 = 40

Таким образом, разница между максимальным и минимальным значениями выражения ab равна 40.