Какова сумма всех целых значений числа k, при которых угол между векторами A (-k; k-12) и B (k-2; -1) будет острым?

• A) 4
• B) 0
• C) 3
• D) 5
• E) 6

Математика 10 класс Векторы и угол между ними угол между векторами сумма целых значений k острый угол векторы a и b математика 10 класс Новый

Для того чтобы угол между векторами A и B был острым, необходимо, чтобы скалярное произведение этих векторов было положительным. Давайте найдем скалярное произведение векторов A и B.

Векторы A и B заданы следующими координатами:

• A = (-k; k-12)
• B = (k-2; -1)

Скалярное произведение векторов A и B вычисляется по формуле:

A · B = A1 * B1 + A2 * B2

Подставим значения:

• A1 = -k, A2 = k - 12
• B1 = k - 2, B2 = -1

Тогда скалярное произведение будет равно:

A · B = (-k) * (k - 2) + (k - 12) * (-1)

Раскроем скобки:

• A · B = -k^2 + 2k - k + 12

Упростим выражение:

A · B = -k^2 + k + 12

Теперь для того, чтобы угол был острым, нам нужно, чтобы скалярное произведение было больше нуля:

-k^2 + k + 12 > 0

Перепишем неравенство:

k^2 - k - 12 < 0

Теперь найдем корни уравнения k^2 - k - 12 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

Корни уравнения:

k1 = (1 + sqrt(49)) / 2 = (1 + 7) / 2 = 4

k2 = (1 - sqrt(49)) / 2 = (1 - 7) / 2 = -3

Теперь мы имеем два корня: k1 = 4 и k2 = -3. Это означает, что парабола, описывающая неравенство k^2 - k - 12, будет принимать отрицательные значения между корнями:

-3 < k < 4

Теперь найдем целые значения k в этом интервале:

• k = -2
• k = -1
• k = 0
• k = 1
• k = 2
• k = 3

Теперь найдем сумму всех целых значений k:

(-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3

Таким образом, сумма всех целых значений числа k, при которых угол между векторами A и B будет острым, равна 3.

Ответ: 3 (вариант C).