Чтобы найти сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на 14 дают в остатке 9, начнем с определения таких чисел.

Трёхзначные числа начинаются с 100 и заканчиваются на 999. Мы ищем числа вида:

x = 14k + 9,

где k — целое число.

Теперь найдем минимальное и максимальное значение k, чтобы x оставалось трёхзначным.

1. Находим минимальное k:

• Для минимального значения x = 100:
• 14k + 9 >= 100.
• 14k >= 100 - 9.
• 14k >= 91.
• k >= 91 / 14 ≈ 6.5.

Поскольку k должно быть целым, минимальное значение k = 7.

2. Находим максимальное k:

• Для максимального значения x = 999:
• 14k + 9 <= 999.
• 14k <= 999 - 9.
• 14k <= 990.
• k <= 990 / 14 ≈ 70.71.

Таким образом, максимальное значение k = 70.

Теперь мы знаем, что k принимает значения от 7 до 70. Найдем соответствующие значения x:

• При k = 7: x = 14 * 7 + 9 = 98 + 9 = 107.
• При k = 70: x = 14 * 70 + 9 = 980 + 9 = 989.

Теперь мы имеем последовательность трёхзначных чисел, которые при делении на 14 дают в остатке 9: 107, 121, 135, ..., 989. Это арифметическая прогрессия.

3. Определим параметры прогрессии:

• Первый член a1 = 107.
• Последний член an = 989.
• Разность d = 14.

4. Найдем количество членов n:

Для нахождения количества членов используем формулу n = (an - a1) / d + 1:

• n = (989 - 107) / 14 + 1.
• n = 882 / 14 + 1 = 63 + 1 = 64.

5. Найдем сумму S всех членов прогрессии:

Сумма S арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S = n / 2 * (a1 + an).

• S = 64 / 2 * (107 + 989).
• S = 32 * 1096.
• S = 35072.

Ответ: Сумма всех трёхзначных чисел, которые при делении на 14 дают в остатке 9, равна 35072.