Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 см, а площадь составляет 15 см²?

Математика 10 класс Задачи на нахождение сторон прямоугольника длина сторон прямоугольник периметр 16 см площадь 15 см² задачи по математике геометрия 10 класс решение задач формулы свойства прямоугольника Новый

Для решения задачи о нахождении длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь, необходимо использовать два основных уравнения:

• Периметр прямоугольника P = 2 * (a + b), где a и b - длины сторон прямоугольника.
• Площадь прямоугольника S = a * b.

В данной задаче периметр равен 16 см, а площадь составляет 15 см². Запишем эти значения в уравнения:

1. Периметр: 2 * (a + b) = 16.
2. Площадь: a * b = 15.

Теперь упростим первое уравнение:

1. Разделим обе стороны уравнения на 2:

a + b = 8.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• a + b = 8
• a * b = 15

Из первого уравнения выразим одну из сторон через другую. Например, выразим b:

b = 8 - a.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

a * (8 - a) = 15.

Раскроем скобки:

8a - a² = 15.

Переносим все в одну сторону уравнения:

a² - 8a + 15 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Найдем их:

a = (8 ± √D) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Таким образом, получаем два значения для a:

• a₁ = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5;
• a₂ = (8 - 2) / 2 = 6 / 2 = 3.

Теперь можем найти соответствующие значения b для каждого из a:

• Если a = 5, то b = 8 - 5 = 3;
• Если a = 3, то b = 8 - 3 = 5.

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны:

a = 5 см и b = 3 см.

Следовательно, стороны прямоугольника имеют длины 5 см и 3 см.