Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, нам нужно использовать формулу для радиуса вписанной окружности (r),которая выражается через площадь (S) и полупериметр (p) треугольника:

Формула:

r = S / p

Теперь давайте найдем необходимые значения:

1. Определим второй катет:

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

В нашем случае один катет (a) равен 9 см, а гипотенуза (c) равна 15 см. Найдем второй катет (b):

9^2 + b^2 = 15^2

81 + b^2 = 225

b^2 = 225 - 81

b^2 = 144

b = √144 = 12 см.

2. Вычислим площадь (S) треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

S = (1/2) * a * b.

Подставим значения катетов:

S = (1/2) * 9 * 12 = 54 см².

3. Вычислим полупериметр (p):

Полупериметр треугольника определяется как:

p = (a + b + c) / 2.

Теперь подставим известные значения:

p = (9 + 12 + 15) / 2 = 36 / 2 = 18 см.

4. Теперь найдем радиус вписанной окружности (r):

Подставим найденные значения в формулу для радиуса:

r = S / p = 54 / 18 = 3 см.

Ответ: Радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен 3 см.