На изображении написано:

“Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 корень из 2, а боковое ребро — 5 см. Вычислите:

1. площадь боковой поверхности пирамиды;
2. площадь полной поверхности пирамиды;
3. объём пирамиды.”

Математика 10 класс Геометрия. Правильные пирамиды правильная четырехугольная пирамида площадь боковой поверхности площадь полной поверхности объём пирамиды математика 10 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть правильная четырёхугольная пирамида с основанием в форме квадрата. Сторона основания равна 3 корня из 2 см, а боковое ребро — 5 см.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна сумме площадей всех её боковых треугольников. В нашем случае у пирамиды 4 боковых треугольника.

• Сначала найдем высоту бокового треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.
• Сторона основания (квадрат) равна 3 корня из 2, значит, его половина равна (3 корня из 2) / 2.
• Обозначим половину стороны основания как a: a = 3 корня из 2 / 2 = 3/√2 см.
• Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где одна сторона равна a, а гипотенуза равна боковому ребру (5 см).

По теореме Пифагора:

h^2 + (3/√2)^2 = 5^2, где h — высота бокового треугольника.

Решим это уравнение:

• h^2 + 9/2 = 25
• h^2 = 25 - 9/2
• h^2 = 50/2 - 9/2 = 41/2
• h = √(41/2) = √41/√2 = √82/2 см.

Теперь найдем площадь одного бокового треугольника:

Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 3√2 * (√82/2).

Площадь одного треугольника = (3√2 * √82) / 4.

Площадь боковой поверхности = 4 * площадь одного треугольника = 4 * (3√2 * √82) / 4 = 3√2 * √82 см².

2. Площадь полной поверхности пирамиды:

Площадь полной поверхности равна площади основания плюс площадь боковой поверхности.

• Площадь основания (квадрат) = сторона^2 = (3√2)² = 18 см².
• Теперь сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности = 18 + 3√2 * √82 см².

3. Объём пирамиды:

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) * площадь основания * высота.

Мы уже нашли площадь основания (18 см²), но нам нужно найти высоту пирамиды. Она равна высоте бокового треугольника, которую мы нашли ранее.

Таким образом, объём будет равен:

V = (1/3) * 18 * (√82/2) = 3 * √82 см³.

Итак, у нас есть все необходимые ответы:

• Площадь боковой поверхности: 3√2 * √82 см².
• Площадь полной поверхности: 18 + 3√2 * √82 см².
• Объём пирамиды: 3 * √82 см³.