На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки F и K. Известно, что AK равно KD, а отношение AF к FB равно 2 к 1. Какова площадь треугольника CFK, если AB равен 15, AD равен 18, а высота параллелограмма BN, проведённая к стороне AD, равна 12?

Математика 10 класс Площадь треугольника и параллелограмма параллелограмм ABCD площадь треугольника CFK точки F и K отношение AF к FB высота параллелограмма BN Новый

Чтобы найти площадь треугольника CFK, сначала определим необходимые параметры и размеры параллелограмма ABCD.

Шаг 1: Найдем площадь параллелограмма ABCD.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

Площадь = основание * высота.

В нашем случае основание можно взять за сторону AD, а высоту — за BN. Тогда:

Площадь = AD * BN = 18 * 12 = 216.

Шаг 2: Найдем точки F и K.

Сначала определим, где находятся точки F и K.

• Точка K делит сторону AD пополам, так как AK равно KD. Это значит, что AK = KD = 9 (половина от 18).
• Теперь найдем точку F. У нас есть отношение AF к FB = 2 к 1. Это значит, что отрезок AB делится на 3 равные части, где AF = 2/3 от AB, а FB = 1/3 от AB.

Так как AB = 15, то:

• AF = (2/3) * 15 = 10.
• FB = (1/3) * 15 = 5.

Шаг 3: Найдем координаты точек.

Предположим, что координаты точек параллелограмма ABCD следующие:

• A(0, 0)
• B(15, 0)
• D(0, 18)
• C(15, 18)

Теперь можем найти координаты точек F и K:

• Точка F: (10, 0) (так как AF = 10, а F находится на AB).
• Точка K: (0, 9) (так как AK = 9, а K находится на AD).

Шаг 4: Найдем площадь треугольника CFK.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * основание * высота.

Используем координаты точек C(15, 18), F(10, 0) и K(0, 9).

Сначала найдем длину основания CF:

CF = |xC - xF| = |15 - 10| = 5.

Теперь найдем высоту треугольника, которая будет перпендикулярна отрезку CF и проходит через точку K. Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой для площади треугольника через координаты:

Площадь = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|,

где (x1, y1) = C, (x2, y2) = F, (x3, y3) = K.

Подставим значения:

Площадь = 1/2 * |15(0 - 9) + 10(9 - 18) + 0(18 - 0)|.

Площадь = 1/2 * |15 * (-9) + 10 * (-9)| = 1/2 * |-135 - 90| = 1/2 * 225 = 112.5.

Ответ: Площадь треугольника CFK равна 112.5.