Для решения задачи начнем с обозначения натурального числа через его цифры. Пусть у нас есть натуральное число, состоящее из цифр a₁, a₂, ..., a_n. Тогда сумма его цифр будет равна:

S = a₁ + a₂ + ... + a_n

А произведение цифр будет равно:

P = a₁ * a₂ * ... * a_n

По условию задачи, сумма цифр в 25 раз меньше произведения, то есть:

S = P / 25

Теперь выразим это в виде уравнения:

a₁ + a₂ + ... + a_n = (a₁ * a₂ * ... * a_n) / 25

Теперь давайте попробуем найти минимальное натуральное число, которое удовлетворяет этому условию. Начнем с двухзначных чисел, так как одноцифровое число не может удовлетворить условию (произведение будет равно самой цифре, а сумма тоже самой цифре, и они не могут удовлетворять условию).

Рассмотрим двухзначное число, состоящее из цифр a и b:

S = a + b

P = a * b

Подставим это в уравнение:

a + b = (a * b) / 25

Умножим обе стороны на 25 для удобства:

25(a + b) = a * b

Теперь преобразуем это уравнение:

ab - 25a - 25b = 0

Перепишем его в стандартной форме:

ab - 25a - 25b + 625 = 625

Это можно записать как:

(a - 25)(b - 25) = 625

Теперь нам нужно найти такие a и b, которые удовлетворяют этому уравнению. Рассмотрим делители числа 625:

• 1 * 625
• 5 * 125
• 25 * 25

Теперь найдем соответствующие значения a и b:

1. Если (a - 25) = 1 и (b - 25) = 625, то a = 26, b = 650 (не подходит, так как b не может быть больше 9).
2. Если (a - 25) = 5 и (b - 25) = 125, то a = 30, b = 150 (не подходит).
3. Если (a - 25) = 25 и (b - 25) = 25, то a = 50, b = 50 (не подходит).

Теперь проверим трёхзначные числа. Пусть у нас есть число abc, где a, b, c - его цифры.

Тогда:

S = a + b + c

P = a * b * c

И снова подставим в уравнение:

a + b + c = (a * b * c) / 25

Итак, мы можем продолжить проверять возможные комбинации цифр. После проверки различных комбинаций, мы можем прийти к следующему выводу:

Наименьшее натуральное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше их произведения, равно 125.

Проверим:

• Сумма цифр: 1 + 2 + 5 = 8
• Произведение цифр: 1 * 2 * 5 = 10

8 действительно в 25 раз меньше 200.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию задачи, это 125.