Периметр прямоугольника составляет 90 метров. Как можно определить длины сторон прямоугольника, чтобы площадь была максимальной?

Математика 10 класс Оптимизация и экстремумы функций периметр прямоугольника 10 класс максимальная площадь длины сторон задачи по математике геометрия оптимизация прямоугольник математические задачи школьная математика Новый

Чтобы определить длины сторон прямоугольника, который имеет максимальную площадь при заданном периметре, нам нужно воспользоваться некоторыми математическими принципами. Начнем с того, что обозначим стороны прямоугольника как a и b.

Известно, что периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

• P = 2 * (a + b)

В нашем случае периметр равен 90 метрам:

• 90 = 2 * (a + b)

Теперь делим обе стороны уравнения на 2:

• a + b = 45

Из этого уравнения мы можем выразить одну сторону через другую. Например, выразим a:

• a = 45 - b

Теперь нам нужно найти площадь S прямоугольника, которая вычисляется по формуле:

• S = a * b

Подставим в эту формулу выражение для a:

• S = (45 - b) * b

Раскрываем скобки:

• S = 45b - b²

Теперь мы можем найти производную функции площади S относительно b для поиска максимального значения:

• S' = (45b - b²)' = 45 - 2b

Чтобы найти максимальное значение площади, приравняем производную к нулю:

• 45 - 2b = 0

Решим это уравнение:

• 2b = 45
• b = 22.5

Теперь, подставив значение b, мы можем найти значение a:

• a = 45 - b = 45 - 22.5 = 22.5

Таким образом, мы получили, что обе стороны прямоугольника равны 22.5 метра. Это означает, что наш прямоугольник является квадратом.

Теперь проверим, действительно ли это значение максимизирует площадь. Мы можем проанализировать знак производной S':

• S' < 0 для b > 22.5 (площадь убывает)
• S' > 0 для b < 22.5 (площадь возрастает)

Это говорит нам о том, что в точке b = 22.5 действительно находится максимум.

Ответ: Стороны прямоугольника: a = b = 22.5 метра. Это квадрат, который имеет максимальную площадь при данном периметре.