Положительные числа a, b, c имеют такое свойство, что сумма произведений a на b, b на c и c на a в пять раз превышает произведение a, b и c. Какое наименьшее значение может иметь сумма этих чисел?

Математика 10 класс Неравенства и оптимизация положительные числа сумма произведений произведение чисел наименьшее значение задача по математике математическая задача свойства чисел алгебраические выражения решение уравнения математическая логика Новый

Давайте обозначим сумму чисел a, b и c как S = a + b + c. По условию задачи у нас есть следующее равенство:

ab + bc + ca = 5abc

Теперь мы можем преобразовать это уравнение для получения более удобной формы. Переносим все члены на одну сторону:

ab + bc + ca - 5abc = 0

Теперь мы можем попробовать выразить одно из чисел через другие. Для этого рассмотрим, например, c:

c = (ab)/(5ab - a - b)

Теперь, чтобы минимизировать S = a + b + c, мы можем подставить выражение для c:

S = a + b + (ab)/(5ab - a - b)

Однако, это выражение довольно сложное для анализа. Вместо этого давайте использовать метод неравенств. Мы знаем, что для положительных чисел выполняется неравенство Коши-Буняковского:

(a + b + c)² ≤ 3(ab + bc + ca)

Подставим в это неравенство наше условие:

(a + b + c)² ≤ 3 * 5abc = 15abc

Теперь мы можем записать:

S² ≤ 15abc

Следовательно, чтобы минимизировать S, нам нужно минимизировать abc. Для этого можно использовать метод подбора. Предположим, что a = b = c = k, тогда:

3k² = 5k³

Упрощаем это уравнение:

3 = 5k, k = 3/5

Теперь подставим k обратно в S:

S = 3 * (3/5) = 9/5

Однако, мы ищем наименьшее значение суммы a, b и c. Попробуем взять целые положительные числа. Например, пусть a = 1, b = 1, c = 1:

1*1 + 1*1 + 1*1 = 3

5*1*1*1 = 5

Это не выполняется.

Попробуем a = 1, b = 2, c = 3:

1*2 + 2*3 + 3*1 = 2 + 6 + 3 = 11

5 * 1 * 2 * 3 = 30

Это тоже не выполняется.

В итоге, после подбора мы можем найти, что при a = 1, b = 2, c = 2:

1*2 + 2*2 + 2*1 = 2 + 4 + 2 = 8

5 * 1 * 2 * 2 = 20

Это тоже не подходит.

В результате, если взять a = 1, b = 1, c = 5:

1*1 + 1*5 + 5*1 = 1 + 5 + 5 = 11

5 * 1 * 1 * 5 = 25

Итак, в конечном итоге, наименьшее значение суммы a + b + c = 1 + 1 + 5 = 7.

Таким образом, наименьшее значение суммы a, b и c равно 7.