Помогите решить неравенство: |x^2+3x-4|≤x^2+3x-4.

Математика 10 класс Неравенства с модулем неравенство решение неравенства математика 10 класс модуль неравенства алгебра x^2+3x-4 Новый

Для решения неравенства |x^2 + 3x - 4| ≤ x^2 + 3x - 4, начнем с анализа выражения внутри модуля.

Обозначим:

f(x) = x^2 + 3x - 4

Теперь мы можем переписать неравенство как:

|f(x)| ≤ f(x)

Это неравенство будет выполняться в двух случаях:

1. Когда f(x) ≥ 0.
2. Когда f(x) < 0, в этом случае |f(x)| = -f(x) и неравенство превращается в -f(x) ≤ f(x), что можно упростить.

Теперь найдем корни уравнения f(x) = 0:

Решим квадратное уравнение:

x^2 + 3x - 4 = 0

Для этого используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

Корни уравнения:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 5) / 2 = 1

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 5) / 2 = -4

Таким образом, корни уравнения x = 1 и x = -4.

Теперь определим знаки f(x) на интервалах, которые образуются этими корнями:

• Интервал (-∞, -4)
• Интервал (-4, 1)
• Интервал (1, +∞)

Теперь проверим знак функции f(x) на каждом из этих интервалов:

• Для x < -4, например, x = -5: f(-5) = (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 (положительное).
• Для -4 < x < 1, например, x = 0: f(0) = 0^2 + 3*0 - 4 = -4 (отрицательное).
• Для x > 1, например, x = 2: f(2) = 2^2 + 3*2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 (положительное).

Таким образом, мы имеем:

• На интервале (-∞, -4) функция f(x) положительна.
• На интервале (-4, 1) функция f(x) отрицательна.
• На интервале (1, +∞) функция f(x) положительна.

Теперь вернемся к нашему неравенству:

1. На интервале (-∞, -4): f(x) ≥ 0, следовательно, |f(x)| ≤ f(x) выполняется.

2. На интервале (-4, 1): f(x) < 0, тогда |f(x)| = -f(x), и неравенство -f(x) ≤ f(x) не выполняется.

3. На интервале (1, +∞): f(x) ≥ 0, следовательно, |f(x)| ≤ f(x) выполняется.

Теперь мы можем записать итоговые результаты:

Решение неравенства: x ∈ (-∞, -4] ∪ [1, +∞).

Таким образом, ответ: x ≤ -4 или x ≥ 1.