Последовательность задана формулой общего члена an = 3/2^n + 2/3^n. Как найти a3, a(n+3), a(2n), a(n^2) и (an)^2?

Математика 10 класс Последовательности и серии последовательность формула общего члена a3 a(n+3) a(2n) a(n^2) (an)^2 математика Новый

Чтобы найти значения последовательности, заданной формулой общего члена a(n) = 3/2^n + 2/3^n, нам нужно подставить соответствующие значения n в эту формулу. Давайте разберем каждый из пунктов по порядку.

1. Найдем a3:

   Подставим n = 3 в формулу:

   a(3) = 3/2^3 + 2/3^3

   Теперь вычислим:

   • 2^3 = 8, значит 3/2^3 = 3/8
   • 3^3 = 27, значит 2/3^3 = 2/27

   Теперь сложим эти дроби:

   a(3) = 3/8 + 2/27

   Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 8 и 27 равен 216:

   • 3/8 = 3 * 27 / (8 * 27) = 81/216
   • 2/27 = 2 * 8 / (27 * 8) = 16/216

   Теперь сложим:

   a(3) = 81/216 + 16/216 = 97/216

2. Найдем a(n+3):

   Подставим n + 3 в формулу:

   a(n + 3) = 3/2^(n + 3) + 2/3^(n + 3)

   Это можно записать как:

   a(n + 3) = 3/(2^n * 2^3) + 2/(3^n * 3^3)

   Таким образом:

   a(n + 3) = 3/(2^n * 8) + 2/(3^n * 27)

   Это выражение остается в таком виде, так как мы не можем упростить его дальше без конкретного значения n.

3. Найдем a(2n):

   Подставим 2n в формулу:

   a(2n) = 3/2^(2n) + 2/3^(2n)

   Это можно записать как:

   a(2n) = 3/(2^n)^2 + 2/(3^n)^2

   Также выражение остается в таком виде, так как мы не можем упростить его дальше без конкретного значения n.

4. Найдем a(n^2):

   Подставим n^2 в формулу:

   a(n^2) = 3/2^(n^2) + 2/3^(n^2)

   Это выражение также не поддается упрощению без конкретного значения n.

5. Найдем (a(n))^2:

   В этом случае мы сначала найдем a(n), а затем возведем его в квадрат:

   (a(n))^2 = (3/2^n + 2/3^n)^2

   Раскроем скобки:

   (a(n))^2 = (3/2^n)^2 + 2*(3/2^n)*(2/3^n) + (2/3^n)^2

   Теперь вычислим каждое слагаемое:

   • (3/2^n)^2 = 9/4^n
   • (2/3^n)^2 = 4/9^n
   • 2*(3/2^n)*(2/3^n) = 12/(2^n * 3^n) = 12/(6^n)

   Таким образом, (a(n))^2 = 9/4^n + 12/6^n + 4/9^n.

Таким образом, мы нашли все необходимые значения и выражения для данной последовательности.