Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x - 8, которая параллельна прямой y = 5x + 1, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определение производной функции: Касательная к графику функции в некоторой точке имеет наклон, равный значению производной функции в этой точке. Поэтому сначала найдем производную функции f(x).
2. Для функции f(x) = x² + 3x - 8, производная будет:
• f'(x) = 2x + 3
3. Нахождение точки касания: Поскольку касательная параллельна прямой y = 5x + 1, это значит, что наклон касательной равен 5. Поэтому мы приравняем производную к 5:
• 2x + 3 = 5
4. Решение уравнения: Теперь решим это уравнение:
• 2x = 5 - 3
• 2x = 2
• x = 1
5. Нахождение координаты точки касания: Теперь, когда мы нашли x = 1, подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:
• f(1) = (1)² + 3(1) - 8 = 1 + 3 - 8 = -4
6. Таким образом, точка касания имеет координаты (1, -4).
7. Запись уравнения касательной: Уравнение касательной можно записать в виде y - y₀ = m(x - x₀), где (x₀, y₀) - точка касания, а m - наклон касательной. Подставим наши значения:
• y - (-4) = 5(x - 1)
• y + 4 = 5x - 5
• y = 5x - 9

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x - 8, которая параллельна прямой y = 5x + 1, будет:

y = 5x - 9