При каких значениях x имеет смысл выражение:

1. √(2x + 5)(x - 17);
2. √x(x + 9)(2x - 8)?

Математика 10 класс Неравенства и область определения значение x выражение математика корень условие область определения неотрицательные числа Новый

Чтобы определить, при каких значениях x имеет смысл данное выражение, необходимо рассмотреть каждую часть отдельно и выяснить, при каких условиях подкоренные выражения неотрицательны.

1. Рассмотрим первое выражение: √(2x + 5)(x - 17)

• Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (2x + 5)(x - 17) ≥ 0.

Теперь найдем нули каждого множителя:

• 2x + 5 = 0 → 2x = -5 → x = -5/2;
• x - 17 = 0 → x = 17.

Теперь у нас есть два критических значения: x = -5/2 и x = 17. Разделим числовую ось на интервалы, используя эти значения:

• (-∞, -5/2);
• (-5/2, 17);
• (17, +∞).

Теперь проверим знак выражения (2x + 5)(x - 17) на каждом интервале:

• Для x < -5/2, например, x = -3: (2*(-3) + 5)(-3 - 17) = (-6 + 5)(-20) = -1*(-20) > 0;
• Для -5/2 < x < 17, например, x = 0: (2*0 + 5)(0 - 17) = (5)(-17) < 0;
• Для x > 17, например, x = 18: (2*18 + 5)(18 - 17) = (36 + 5)(1) = 41 > 0.

Таким образом, выражение (2x + 5)(x - 17) ≥ 0 на интервалах:

• (-∞, -5/2] и [17, +∞).

2. Рассмотрим второе выражение: √x(x + 9)(2x - 8)

• Для этого выражения также необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: x(x + 9)(2x - 8) ≥ 0.

Найдем нули каждого множителя:

• x = 0;
• x + 9 = 0 → x = -9;
• 2x - 8 = 0 → 2x = 8 → x = 4.

Теперь у нас есть три критических значения: x = -9, x = 0 и x = 4. Разделим числовую ось на интервалы:

• (-∞, -9);
• (-9, 0);
• (0, 4);
• (4, +∞).

Теперь проверим знак выражения x(x + 9)(2x - 8) на каждом интервале:

• Для x < -9, например, x = -10: (-10)(-10 + 9)(2*(-10) - 8) = (-10)(-1)(-28) < 0;
• Для -9 < x < 0, например, x = -1: (-1)(-1 + 9)(2*(-1) - 8) = (-1)(8)(-10) > 0;
• Для 0 < x < 4, например, x = 1: (1)(1 + 9)(2*1 - 8) = (1)(10)(-6) < 0;
• Для x > 4, например, x = 5: (5)(5 + 9)(2*5 - 8) = (5)(14)(2) > 0.

Таким образом, выражение x(x + 9)(2x - 8) ≥ 0 на интервалах:

• (-9, 0] и [4, +∞).

Итак, подводя итог:

• Первое выражение имеет смысл при x ∈ (-∞, -5/2] ∪ [17, +∞);
• Второе выражение имеет смысл при x ∈ (-9, 0] ∪ [4, +∞).

Таким образом, для того чтобы оба выражения имели смысл одновременно, необходимо найти пересечение этих интервалов. Пересечение будет:

• x ∈ [4, +∞).