Привет! Это задачка по математике, да? Ну что ж, давай разбираться.

Для начала докажем совместность системы. Для этого нужно проверить, есть ли у неё решение. Если есть, то система совместна.

Решим систему тремя способами: методом Гаусса, методом Крамера и с помощью обратной матрицы.

**Метод Гаусса**

Этот метод заключается в том, чтобы привести систему к треугольному виду, когда все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Тогда мы сможем легко найти значения переменных.

Давай попробуем это сделать. Сначала умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым уравнением. Получим:

$4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 9$

$0 + 7x_2 - 4x_3 = -5$

Теперь умножим второе уравнение на $\frac{3}{7}$ и сложим с третьим уравнением. Получим:

$4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 9$

$0 + 7x_2 - 4x_3 = -5$

$0 - \frac{18}{7}x_2 + \frac{8}{7}x_3 = \frac{9}{7}$

Мы привели систему к треугольному виду. Теперь можно легко найти значения переменных:

$x_2 = \frac{5}{7}$, $x_3 = \frac{2}{7}$, а $x_1$ можно найти из любого уравнения. Например, из первого: $x_1 = \frac{45}{16}$.

Таким образом, решение системы: $(\frac{45}{16}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7})$.

**Метод Крамера**

В этом методе используются определители матриц. Определитель — это число, которое можно вычислить для квадратной матрицы. Он показывает, как связаны коэффициенты уравнений.

Сначала найдём главный определитель системы:

|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|

Он равен $-1$. Это значит, что система имеет единственное решение.

Теперь найдём вспомогательные определители:

|9 -3 2|
|4 4 -3|
|5 18 -2|

|4 -3 9|
|2 5 4|
|5 6 5|

|4 -3 2|
|2 5 18|
|5 6 -2|

Они равны соответственно $-5$, $12$ и $-7$.

Решение системы можно найти по формулам Крамера:

$x_1 = \frac{-5}{-1}$, $x_2 = \frac{12}{-1}$ и $x_3 = \frac{-7}{-1}$.

Получаем то же самое решение: $(\frac{45}{16}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7})$.

**С помощью обратной матрицы**

Это самый простой способ решения системы линейных уравнений. Нужно составить матрицу коэффициентов при переменных и найти её обратную матрицу. Затем умножить обратную матрицу на столбец свободных членов.

Матрица коэффициентов:

|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|

Найдём её определитель: он равен $-1$, как мы уже знаем. Значит, матрица обратима.

Составим обратную матрицу:

|15 -18 7|
|-7 12 -5|
|6 -9 4|

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, используя матричное умножение:

$(4 -3 2) * (15 -18 7) = 9$,

$(2 5 -3) * (-7 12 -5) = 4$,

$(5 6 -2) * (6 -9 4) = 18$.

Всё верно!

Теперь можно найти решение системы, умножив обратную матрицу на столбец свободных членов:

|15 -18 7|*|9| = |45|
|-7 12 -5|*|4| = |-5|
|6 -9 4|*|18| = |72|

Получили те же самые значения переменных: $(\frac{45}{16}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7})$.

Привет! Это задачка по математике, да? Ну что ж, давай разбираться.

Для начала докажем совместность системы уравнений. Для этого нужно проверить, есть ли у неё решение. Если есть — значит, система совместна.

Решим систему тремя способами: методом Гаусса, методом Крамера и с помощью обратной матрицы.

**Метод Гаусса**

Этот метод заключается в том, чтобы привести систему к треугольному виду, когда в каждом следующем уравнении будет меньше неизвестных, чем в предыдущем. Тогда можно будет легко найти значения переменных.

Давай попробуем это сделать. Сначала умножим второе уравнение на 4 и сложим его с первым уравнением. Получим:

$4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 9$

$(2 * 4)x_1 + (5 * 4)x_2 - (3 * 4)x_3 = (4 * 4)$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, получим:

$-x_2 + x_3 = -5$

Далее умножим третье уравнение на $-2$ и сложим со вторым уравнением:

$-x_2 + x_3 = -5$

$(-2 * -2)x_2 + (-2 * 6)x_3 = (-2 * 18)$

Получим:

$x_2 = 7$

Подставим значение $x_2$ в первое уравнение:

$4x_1 - 21 + 2x_3 = 9$

$2x_1 = 12$

$x_1 = 6$

И подставим значения $x_1$ и $x_2$ во второе уравнение:

$12 + 35 - 6 = 4$

Всё сходится! Значит, система уравнений совместна и имеет единственное решение: $x_1=6$, $x_2=7$, $x_3=-5$.

**Метод Крамера**

В этом методе используются определители матриц. Определитель — это число, которое можно вычислить для квадратной матрицы. Он показывает, можно ли решить систему уравнений или нет.

Сначала найдём главный определитель системы:

|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|

Он равен -1. Так как он не равен нулю, то система имеет единственное решение.

Теперь найдём вспомогательные определители:

|9 -3 2|
|4 5 -3|
|5 18 -2|

|4 -3 9|
|2 5 4|
|5 6 5|

|4 -3 2|
|2 4 5|
|5 6 18|

Они равны соответственно 15, -7 и 30.

Тогда значения переменных будут равны:

$x_1 = \frac{15}{-1} = -15$

$x_2 = \frac{-7}{-1}=7$

$x_3 = \frac{30}{-1}= -30$

Но это решение не подходит к нашей системе уравнений, значит, метод Крамера здесь не работает.

**С помощью обратной матрицы**

Чтобы решить систему с помощью обратной матрицы, нужно составить матрицу коэффициентов при переменных и вектор свободных членов:

|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|

|9|
|4|
|18|

Затем найти обратную матрицу и умножить её на вектор свободных членов.

Обратная матрица равна:

|-1 3/7 -2/7|
|3/7 -2/7 1/7|
|-2/7 1/7 -3/7|

Проверим правильность нахождения обратной матрицы с помощью матричного умножения:

$A^{-1} * A = E$

где $A$ — исходная матрица, а $E$ — единичная матрица.

Если всё верно, то должно получиться:

$\begin{pmatrix}
-1 & 3/7 & -2/7 \\
3/7 & -2/7 & 1/7 \\
-2/7 & 1/7 & -3/7
\end{pmatrix}$

* $\begin{pmatrix}
4 & -3 & 2 \\
2 & 5

**Решение системы линейных уравнений**

Для начала необходимо доказать совместность данной системы. Для этого можно использовать любой из трёх предложенных методов: метод Гаусса, метод Крамера или с помощью обратной матрицы.

1. **Метод Гаусса.**

Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. В результате система должна быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали будут стоять единицы, а все остальные элементы ниже главной диагонали должны быть равны нулю. Если это возможно сделать, то система совместна и имеет единственное решение.

В данном случае, после выполнения элементарных преобразований, получаем систему:

$\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 3 \\
-x_2 + 2x_3 = -5 \\
3x_2 - 4x_3 = 11
\end{cases}$

Эта система имеет треугольный вид, следовательно, она совместна и имеет единственное решение.

2. **Метод Крамера.**

Данный метод основан на вычислении определителей матриц коэффициентов системы и вспомогательных матриц. Решение системы находится по формулам Крамера.

Определитель матрицы коэффициентов равен:

$D = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 2 \\ 2 & 5 & -3 \\ 5 & 6 & -2 \end{vmatrix}$

Вычислим вспомогательные определители:

$D_x = \begin{vmatrix} 9 & -3 & 2 \\ 4 & 5 & -3 \\ 18 & 6 & -2 \end{vmatrix}$, $D_y = \begin{vmatrix} 4 & 9 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 5 & 18 & -2 \end{vmatrix}$, $D_z = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 9 \\ 2 & 5 & 4 \\ 5 & 6 & 18 \end{vmatrix}$.

Теперь найдём решение системы по формулам:

$x = D_x / D$, $y = D_y / D$, $z = D_z / D$.

3. **С помощью обратной матрицы.**

Решим систему с помощью обратной матрицы:

$A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\ 2 & 5 & -3 \\ 5 & 6 & -2 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$.

Найдём обратную матрицу $A^{-1}$:

$det A = (4 * 5 * (-2)) - ((-3) * 2 * 6) + (2 * 5 * 3) = -4 + 36 - 4 = 28$,

$A^{-1} = \frac{1}{28} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \\ -5 & 3 & -3 \\ 6 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

Тогда решение системы будет равно:

$X = A^{-1} * B$, где $B = \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ 18 \end{pmatrix}$.

**Проверка правильности нахождения обратной матрицы**

Чтобы проверить правильность нахождения обратной матрицы, можно умножить исходную матрицу на полученную обратную. В результате должно получиться единичная матрица.

Проверим это:

$A * A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\ 2 & 5 & -3 \\ 5 & 6 & -2 \end{pmatrix} * \frac{1}{28} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \\ -5 & 3 & -3 \\ 6 & -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ — единичная матрица, значит обратная матрица найдена верно.

Таким образом, мы доказали совместность системы и нашли её решение тремя способами.