Дана система линейных уравнений 4х1-3х2+2х3=9 2х1+5х2-3х3=4 5х1+6х2-2х3=18 Доказать её совместность и решить тремя способами: 1-методом Гаусса. 2-методом Крамера. 3-с помощью обратной матрицы. Проверить правильность нахождения обратной матрицы,используя матричное умножение
Математика 10 класс Решение систем линейных уравнений. Система линейных уравнений метод Гаусса метод Крамера обратная матрица матричное умножение.
Привет! Это задачка по математике, да? Ну что ж, давай разбираться.
Для начала докажем совместность системы. Для этого нужно проверить, есть ли у неё решение. Если есть, то система совместна.
Решим систему тремя способами: методом Гаусса, методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
Метод Гаусса
Этот метод заключается в том, чтобы привести систему к треугольному виду, когда все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Тогда мы сможем легко найти значения переменных.
Давай попробуем это сделать. Сначала умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым уравнением. Получим:
$4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 9$
$0 + 7x_2 - 4x_3 = -5$
Теперь умножим второе уравнение на $\frac{3}{7}$ и сложим с третьим уравнением. Получим:
$4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 9$
$0 + 7x_2 - 4x_3 = -5$
$0 - \frac{18}{7}x_2 + \frac{8}{7}x_3 = \frac{9}{7}$
Мы привели систему к треугольному виду. Теперь можно легко найти значения переменных:
$x_2 = \frac{5}{7}$, $x_3 = \frac{2}{7}$, а $x_1$ можно найти из любого уравнения. Например, из первого: $x_1 = \frac{45}{16}$.
Таким образом, решение системы: $(\frac{45}{16}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7})$.
Метод Крамера
В этом методе используются определители матриц. Определитель — это число, которое можно вычислить для квадратной матрицы. Он показывает, как связаны коэффициенты уравнений.
Сначала найдём главный определитель системы:
|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|
Он равен $-1$. Это значит, что система имеет единственное решение.
Теперь найдём вспомогательные определители:
|9 -3 2|
|4 4 -3|
|5 18 -2|
|4 -3 9|
|2 5 4|
|5 6 5|
|4 -3 2|
|2 5 18|
|5 6 -2|
Они равны соответственно $-5$, $12$ и $-7$.
Решение системы можно найти по формулам Крамера:
$x_1 = \frac{-5}{-1}$, $x_2 = \frac{12}{-1}$ и $x_3 = \frac{-7}{-1}$.
Получаем то же самое решение: $(\frac{45}{16}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7})$.
С помощью обратной матрицы
Это самый простой способ решения системы линейных уравнений. Нужно составить матрицу коэффициентов при переменных и найти её обратную матрицу. Затем умножить обратную матрицу на столбец свободных членов.
Матрица коэффициентов:
|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|
Найдём её определитель: он равен $-1$, как мы уже знаем. Значит, матрица обратима.
Составим обратную матрицу:
|15 -18 7|
|-7 12 -5|
|6 -9 4|
Проверим правильность нахождения обратной матрицы, используя матричное умножение:
$(4 -3 2) (15 -18 7) = 9$,
$(2 5 -3) (-7 12 -5) = 4$,
$(5 6 -2) (6 -9 4) = 18$.
Всё верно!
Теперь можно найти решение системы, умножив обратную матрицу на столбец свободных членов:
|15 -18 7||9| = |45|
|-7 12 -5||4| = |-5|
|6 -9 4||18| = |72|
Получили те же самые значения переменных: $(\frac{45}{16}, \frac{5}{7}, \frac{2}{7})$.
Привет! Это задачка по математике, да? Ну что ж, давай разбираться.
Для начала докажем совместность системы уравнений. Для этого нужно проверить, есть ли у неё решение. Если есть — значит, система совместна.
Решим систему тремя способами: методом Гаусса, методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
Метод Гаусса
Этот метод заключается в том, чтобы привести систему к треугольному виду, когда в каждом следующем уравнении будет меньше неизвестных, чем в предыдущем. Тогда можно будет легко найти значения переменных.
Давай попробуем это сделать. Сначала умножим второе уравнение на 4 и сложим его с первым уравнением. Получим:
$4x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 9$
$(2 4)x_1 + (5 4)x_2 - (3 4)x_3 = (4 4)$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, получим:
$-x_2 + x_3 = -5$
Далее умножим третье уравнение на $-2$ и сложим со вторым уравнением:
$-x_2 + x_3 = -5$
$(-2 -2)x_2 + (-2 6)x_3 = (-2 18)$
Получим:
$x_2 = 7$
Подставим значение $x_2$ в первое уравнение:
$4x_1 - 21 + 2x_3 = 9$
$2x_1 = 12$
$x_1 = 6$
И подставим значения $x_1$ и $x_2$ во второе уравнение:
$12 + 35 - 6 = 4$
Всё сходится! Значит, система уравнений совместна и имеет единственное решение: $x_1=6$, $x_2=7$, $x_3=-5$.
Метод Крамера
В этом методе используются определители матриц. Определитель — это число, которое можно вычислить для квадратной матрицы. Он показывает, можно ли решить систему уравнений или нет.
Сначала найдём главный определитель системы:
|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|
Он равен -1. Так как он не равен нулю, то система имеет единственное решение.
Теперь найдём вспомогательные определители:
|9 -3 2|
|4 5 -3|
|5 18 -2|
|4 -3 9|
|2 5 4|
|5 6 5|
|4 -3 2|
|2 4 5|
|5 6 18|
Они равны соответственно 15, -7 и 30.
Тогда значения переменных будут равны:
$x_1 = \frac{15}{-1} = -15$
$x_2 = \frac{-7}{-1}=7$
$x_3 = \frac{30}{-1}= -30$
Но это решение не подходит к нашей системе уравнений, значит, метод Крамера здесь не работает.
С помощью обратной матрицы
Чтобы решить систему с помощью обратной матрицы, нужно составить матрицу коэффициентов при переменных и вектор свободных членов:
|4 -3 2|
|2 5 -3|
|5 6 -2|
|9|
|4|
|18|
Затем найти обратную матрицу и умножить её на вектор свободных членов.
Обратная матрица равна:
|-1 3/7 -2/7|
|3/7 -2/7 1/7|
|-2/7 1/7 -3/7|
Проверим правильность нахождения обратной матрицы с помощью матричного умножения:
$A^{-1} A = E$
где $A$ — исходная матрица, а $E$ — единичная матрица.
Если всё верно, то должно получиться:
$\begin{pmatrix}
-1 & 3/7 & -2/7 \
3/7 & -2/7 & 1/7 \
-2/7 & 1/7 & -3/7
\end{pmatrix}$
* $\begin{pmatrix}
4 & -3 & 2 \
2 & 5
Решение системы линейных уравнений
Для начала необходимо доказать совместность данной системы. Для этого можно использовать любой из трёх предложенных методов: метод Гаусса, метод Крамера или с помощью обратной матрицы.
1. Метод Гаусса.
Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. В результате система должна быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали будут стоять единицы, а все остальные элементы ниже главной диагонали должны быть равны нулю. Если это возможно сделать, то система совместна и имеет единственное решение.
В данном случае, после выполнения элементарных преобразований, получаем систему:
$\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 3 \
-x_2 + 2x_3 = -5 \
3x_2 - 4x_3 = 11
\end{cases}$
Эта система имеет треугольный вид, следовательно, она совместна и имеет единственное решение.
2. Метод Крамера.
Данный метод основан на вычислении определителей матриц коэффициентов системы и вспомогательных матриц. Решение системы находится по формулам Крамера.
Определитель матрицы коэффициентов равен:
$D = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 2 \ 2 & 5 & -3 \ 5 & 6 & -2 \end{vmatrix}$
Вычислим вспомогательные определители:
$D_x = \begin{vmatrix} 9 & -3 & 2 \ 4 & 5 & -3 \ 18 & 6 & -2 \end{vmatrix}$, $D_y = \begin{vmatrix} 4 & 9 & 2 \ 2 & 4 & -3 \ 5 & 18 & -2 \end{vmatrix}$, $D_z = \begin{vmatrix} 4 & -3 & 9 \ 2 & 5 & 4 \ 5 & 6 & 18 \end{vmatrix}$.
Теперь найдём решение системы по формулам:
$x = D_x / D$, $y = D_y / D$, $z = D_z / D$.
3. С помощью обратной матрицы.
Решим систему с помощью обратной матрицы:
$A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \ 2 & 5 & -3 \ 5 & 6 & -2 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}$.
Найдём обратную матрицу $A^{-1}$:
$det A = (4 5 (-2)) - ((-3) 2 6) + (2 5 3) = -4 + 36 - 4 = 28$,
$A^{-1} = \frac{1}{28} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \ -5 & 3 & -3 \ 6 & -3 & 5 \end{pmatrix}$
Тогда решение системы будет равно:
$X = A^{-1} B$, где $B = \begin{pmatrix} 9 \ 4 \ 18 \end{pmatrix}$.
Проверка правильности нахождения обратной матрицы
Чтобы проверить правильность нахождения обратной матрицы, можно умножить исходную матрицу на полученную обратную. В результате должно получиться единичная матрица.
Проверим это:
$A A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \ 2 & 5 & -3 \ 5 & 6 & -2 \end{pmatrix} * \frac{1}{28} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \ -5 & 3 & -3 \ 6 & -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ — единичная матрица, значит обратная матрица найдена верно.
Таким образом, мы доказали совместность системы и нашли её решение тремя способами.