Решение уравнения $\log_5(7-x)=2$. Напишите ОДЗ.

Математика 10 класс Логарифмические уравнения. ОДЗ. Новый

Решение уравнения $\log_5(7-x)=2$

1. $\log_5 (7 - x) = 2$.

Так как логарифм определён только для положительных чисел, то найдём область допустимых значений (ОДЗ):

$7 - х > 0$,
$-х > -7$,
$х < 7$.

2. По определению логарифма:

$(7 - x)^2 = 5^2$,
$49 - 14x + x^2 = 25$,
$x^2 - 14x + 24 = 0$.

3. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 = 10^2$,
$x_1 = \frac{14 + 10}{2} = 4$,
$x_2 = \frac{14 - 10}{2} = -2$.

4. Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ:

$x = 4$ не подходит, так как $4 > 7$;

$x = -2$ подходит, так как $-2 < 7$.

Ответ: $x = -2$.