Для решения этой задачи давайте рассмотрим, что означает условие, которое заметил Олег. Он говорит, что если взять любой простой делитель n и сложить его с самим числом n, то получится квадрат целого числа. Это можно записать следующим образом:

Пусть p - простой делитель числа n. Тогда у нас есть:

n + p = k^2,

где k - целое число.

Перепишем это уравнение:

n = k^2 - p.

Теперь мы знаем, что n - это натуральное число, и оно должно быть больше 1. Следовательно, k^2 - p > 1, что означает:

k^2 > p + 1.

Теперь давайте рассмотрим возможные простые делители p. Поскольку p - это простой делитель n, n может быть представлено в виде произведения простых чисел. Рассмотрим несколько случаев:

• Случай 1: Если n является простым числом. В этом случае единственным простым делителем будет само n. Подставим в уравнение:
• n + n = k^2,
• 2n = k^2,
• n = k^2 / 2.
• Здесь n будет целым числом только в том случае, если k^2 четно, то есть k должно быть четным. Пусть k = 2m, тогда:
• n = (2m)^2 / 2 = 2m^2.
• Таким образом, n может быть любым четным простым числом, например, n = 2.
• Случай 2: Если n составное число. Пусть n = p1^a * p2^b * ... * pk^c, где p1, p2, ..., pk - различные простые делители. Если мы возьмем любой простой делитель pi, то:
• n + pi = k^2.
• Это уравнение также должно выполняться для всех простых делителей n. Таким образом, для всех pi мы получаем, что n + pi = k^2 для некоторого целого k.
• Это может быть выполнено, если n имеет вид 2m^2, где m - натуральное число, так как в этом случае n + p будет квадратом для четного p.

Таким образом, Рома мог выбрать следующие числа n:

• n = 2 (единственное четное простое число);
• n = 6 (поскольку 6 + 2 = 8, 8 = 2^2);
• n = 10 (поскольку 10 + 2 = 12, 12 = 3^2);
• n = 14 (поскольку 14 + 2 = 16, 16 = 4^2);
• и другие составные числа, которые соответствуют этому условию.

Таким образом, числа n, которые мог выбрать Рома, это все четные натуральные числа, которые соответствуют описанным условиям. В частности, это 2, 6, 10, 14 и так далее.