Сколько натуральных чисел n существует, для которых 4 в степени n минус 15 является квадратом целого числа?

Математика 10 класс Диофантовые уравнения натуральные числа 4 в степени n квадрат целого числа уравнение решение математика 10 класс Новый

Рассмотрим уравнение, которое нам нужно решить:

4^n - 15 = k^2

где k - целое число. Мы можем переписать 4^n как (2^2)^n = 2^(2n). Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

2^(2n) - 15 = k^2

Теперь мы можем выразить 2^(2n) через k:

2^(2n) = k^2 + 15

2^(2n) - это четное число, поскольку любое число, возведенное в степень, будет четным, если основание четное. Поэтому k^2 + 15 также должно быть четным. Это возможно только в том случае, если k^2 - нечетно, что означает, что k должно быть нечетным. Обозначим k как 2m + 1, где m - целое число. Подставим это в уравнение:

2^(2n) = (2m + 1)^2 + 15

Раскроем скобки:

2^(2n) = 4m^2 + 4m + 1 + 15

2^(2n) = 4m^2 + 4m + 16

Теперь вынесем 4 за скобки:

2^(2n) = 4(m^2 + m + 4)

Делим обе стороны на 4:

2^(2n-2) = m^2 + m + 4

Теперь мы видим, что левая часть является степенью двойки. Таким образом, правая часть также должна быть степенью двойки. Обозначим:

m^2 + m + 4 = 2^k

Теперь мы должны выяснить, при каких значениях m это равенство выполняется. Рассмотрим несколько случаев:

• Если m = 0, то 0^2 + 0 + 4 = 4 = 2^2 (k = 2).
• Если m = 1, то 1^2 + 1 + 4 = 6 (не степень двойки).
• Если m = 2, то 2^2 + 2 + 4 = 10 (не степень двойки).
• Если m = 3, то 3^2 + 3 + 4 = 16 = 2^4 (k = 4).
• Если m = 4, то 4^2 + 4 + 4 = 24 (не степень двойки).
• Если m = 5, то 5^2 + 5 + 4 = 34 (не степень двойки).
• Если m = 6, то 6^2 + 6 + 4 = 46 (не степень двойки).
• Если m = 7, то 7^2 + 7 + 4 = 60 (не степень двойки).

Мы можем заметить, что для больших значений m результат будет только увеличиваться и не достигнет следующей степени двойки. Теперь мы определили, что решения для m = 0 и m = 3 дают:

• m = 0: 2^(2n-2) = 4, значит 2n - 2 = 2, n = 2.
• m = 3: 2^(2n-2) = 16, значит 2n - 2 = 4, n = 3.

Таким образом, n может принимать значения 2 и 3. Подводя итог, мы можем сказать, что существуют два натуральных числа n, для которых 4^n - 15 является квадратом целого числа.

Ответ: 2