Стороны прямоугольника измеряются целыми сантиметрами. Если одно из его измерений увеличить на 99 см, а другое уменьшить на 1 см, то получится новый прямоугольник с меньшей площадью. Какой наименьший периметр мог быть у исходного прямоугольника?

Математика 10 класс Оптимизация и неравенства математика 10 класс задачи на периметр площадь прямоугольника изменение размеров прямоугольника решение задач по геометрии Новый

Для решения данной задачи обозначим стороны исходного прямоугольника как a и b, где a и b - целые числа, измеряемые в сантиметрах.

Сначала найдем площадь исходного прямоугольника:

• Площадь исходного прямоугольника: S = a * b.

Теперь рассмотрим новый прямоугольник, где одно измерение увеличено на 99 см, а другое уменьшено на 1 см. Это можно записать следующим образом:

• Одно измерение: a + 99
• Другое измерение: b - 1

Площадь нового прямоугольника будет равна:

• S' = (a + 99) * (b - 1).

По условию задачи, площадь нового прямоугольника меньше площади исходного:

• S' < S.

Подставим выражения для площадей:

• (a + 99) * (b - 1) < a * b.

Раскроем скобки и упростим неравенство:

• ab - a + 99b - 99 < ab.
• Сокращаем ab:
• -a + 99b - 99 < 0.
• Таким образом, получаем:
• 99b < a + 99.
• Перепишем неравенство:
• 99b - 99 < a.
• 99(b - 1) < a.

Теперь мы знаем, что сторона a должна быть больше, чем 99(b - 1). Чтобы найти наименьший периметр исходного прямоугольника, который равен:

• P = 2(a + b).

Для минимизации периметра необходимо минимизировать значения a и b, удовлетворяющие неравенству a > 99(b - 1).

Рассмотрим минимальное значение b = 1:

• a > 99(1 - 1) = 0, следовательно, a >= 1.

Теперь подберем значения a и b:

• Для b = 2: a > 99(2 - 1) = 99, значит a = 100.
• Периметр: P = 2(100 + 2) = 204.

Проверим еще одно значение b = 3:

• a > 99(3 - 1) = 198, значит a = 199.
• Периметр: P = 2(199 + 3) = 404.

Таким образом, минимальный периметр, который мы нашли, равен 204 см.

Следовательно, наименьший периметр исходного прямоугольника составляет 204 см.