Стороны прямоугольного треугольника находятся в арифметической прогрессии, где разность составляет 1,5. Как можно вычислить периметр этого треугольника?

Математика 10 класс Прямоугольные треугольники и прогрессии прямоугольный треугольник арифметическая прогрессия стороны треугольника разность 1,5 периметр треугольника Новый

Для решения задачи начнем с обозначения сторон прямоугольного треугольника. Пусть стороны треугольника, которые находятся в арифметической прогрессии, обозначим как:

• a - меньшая сторона,
• b - средняя сторона,
• c - гипотенуза.

Поскольку стороны находятся в арифметической прогрессии с разностью 1,5, мы можем записать:

• a = x,
• b = x + 1,5,
• c = x + 3.

Теперь, поскольку это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит:

a² + b² = c²

Подставим наши выражения для a, b и c в уравнение:

• (x)² + (x + 1,5)² = (x + 3)².

Теперь раскроем скобки:

• x² + (x² + 3x + 2,25) = (x² + 6x + 9).

Соберем все члены на одной стороне уравнения:

• 2x² + 3x + 2,25 = x² + 6x + 9.

Переносим все влево:

• 2x² + 3x + 2,25 - x² - 6x - 9 = 0.

Упрощаем уравнение:

• x² - 3x - 6,75 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-6,75) = 9 + 27 = 36.

Так как D > 0, у нас есть два различных решения:

• x = (3 ± √36) / 2 = (3 ± 6) / 2.

Решения будут:

• x₁ = (3 + 6) / 2 = 4,5,
• x₂ = (3 - 6) / 2 = -1,5.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы используем x = 4,5.

Теперь подставим значение x, чтобы найти стороны треугольника:

• a = 4,5,
• b = 4,5 + 1,5 = 6,
• c = 4,5 + 3 = 7,5.

Теперь мы можем найти периметр треугольника, который равен сумме всех его сторон:

Периметр = a + b + c

• Периметр = 4,5 + 6 + 7,5 = 18.

Таким образом, периметр данного прямоугольного треугольника составляет 18.