Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Пятый, восьмой и одиннадцатый члены этой прогрессии являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Какой первый член геометрической прогрессии?

Математика 10 класс Геометрическая прогрессия и арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии первый член прогрессии математическая задача Новый

Для решения задачи начнем с обозначения параметров геометрической прогрессии. Обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвертый член: a * q^3
• Пятый член: a * q^4

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q) (при q ≠ 1)

В нашем случае:

S_5 = a * (1 - q^5) / (1 - q) = 62

Теперь подставим значение S_5:

a * (1 - q^5) = 62 * (1 - q)

Это уравнение (1).

Теперь рассмотрим члены геометрической прогрессии, которые являются членами арифметической прогрессии. Пятый член геометрической прогрессии a * q^4 будет первым членом арифметической прогрессии, восьмой член a * q^7 будет вторым, а одиннадцатый член a * q^{10} будет десятым членом арифметической прогрессии.

Поскольку члены a * q^4 и a * q^7 являются первыми и вторыми членами арифметической прогрессии, то разность между ними будет равна разности между вторым и десятым членами арифметической прогрессии:

a * q^7 - a * q^4 = a * q^{10} - a * q^7

Упростим это уравнение:

a * (q^7 - q^4) = a * (q^{10} - q^7)

Если a ≠ 0, то можем разделить обе стороны на a:

q^7 - q^4 = q^{10} - q^7

Переносим все в одну сторону:

q^{10} - 2q^7 + q^4 = 0

Это уравнение можно факторизовать:

(q^4)(q^6 - 2q^3 + 1) = 0

Решение q^4 = 0 не имеет смысла, так как q не может быть равным нулю. Рассмотрим вторую часть:

q^6 - 2q^3 + 1 = 0

Обозначим x = q^3. Тогда уравнение примет вид:

x^2 - 2x + 1 = 0

Это квадратное уравнение можно решить по формуле:

(x - 1)^2 = 0

Следовательно, x = 1, что означает, что q^3 = 1, и, следовательно, q = 1.

Теперь подставим q = 1 в уравнение (1):

a * (1 - 1^5) = 62 * (1 - 1)

Это уравнение не дает нам информации, так как обе стороны равны нулю. Вернемся к уравнению суммы:

Если q = 1, то все члены прогрессии равны a, и сумма первых пяти членов будет:

5a = 62

Следовательно:

a = 62 / 5 = 12.4

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 12.4.