Сумма положительных чисел а и в равна 50. При каких значениях а и в их произведение будет максимальным?

Математика 10 класс Оптимизация произведения двух чисел сумма положительных чисел произведение чисел максимальное произведение задача по математике оптимизация произведения Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства произведения и сумму двух положительных чисел. Давайте обозначим:

• а - одно из положительных чисел,
• в - второе положительное число.

Согласно условию задачи, у нас есть:

а + в = 50.

Мы хотим максимизировать произведение этих двух чисел:

P = а * в.

Теперь, чтобы выразить одно из чисел через другое, мы можем выразить в через а:

в = 50 - а.

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения:

P = а * (50 - а).

Раскроем скобки:

P = 50а - а².

Теперь у нас есть квадратичная функция P(a), которая имеет вид:

P = -а² + 50а.

Эта функция является параболой, открытой вниз (так как коэффициент при а² отрицательный), и ее максимум будет находиться в вершине параболы. Для нахождения координат вершины параболы используем формулу:

а = -b/(2a),

где b - коэффициент при а, а a - коэффициент при а². В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент при а²),
• b = 50 (коэффициент при а).

Подставим эти значения в формулу:

а = -50 / (2 * -1) = 25.

Теперь, зная значение а, можем найти в:

в = 50 - а = 50 - 25 = 25.

Таким образом, максимальное произведение P достигается при:

а = 25 и в = 25.

Теперь подставим эти значения в формулу для произведения:

P = 25 * 25 = 625.

Таким образом, максимальное произведение двух положительных чисел а и в, сумма которых равна 50, равно 625, и достигается при значениях:

а = 25 и в = 25.