Сумма углов выпуклого n-угольника в a раз превышает сумму углов выпуклого (n-2)-угольника. Какие целые значения может принимать число a? Укажите ответы в порядке возрастания.

Математика 10 класс Сумма углов многоугольника сумма углов выпуклый n-угольник целые значения a геометрия свойства многоугольников математика 10 класс Новый

Для решения данной задачи нам нужно использовать формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. Сумма углов выпуклого n-угольника рассчитывается по формуле:

S(n) = (n - 2) * 180°

Теперь давайте найдем сумму углов выпуклого (n - 2)-угольника:

S(n - 2) = ((n - 2) - 2) * 180° = (n - 4) * 180°

Согласно условию задачи, сумма углов выпуклого n-угольника в a раз превышает сумму углов выпуклого (n - 2)-угольника. Это можно записать в виде:

S(n) = a * S(n - 2)

Подставим найденные значения:

(n - 2) * 180° = a * (n - 4) * 180°

Теперь мы можем сократить 180° с обеих сторон, так как 180° не равно нулю:

n - 2 = a * (n - 4)

Теперь раскроем скобки:

n - 2 = a * n - 4a

Переносим все члены с n в одну сторону, а остальные в другую:

n - a * n = -4a + 2

Факторизуем n:

n(1 - a) = -4a + 2

Теперь выразим n:

n = (2 - 4a) / (1 - a)

Поскольку n - это количество сторон многоугольника, оно должно быть целым и положительным. Поэтому мы должны рассмотреть условия, при которых это выражение будет выполнять эти требования.

1. Условие положительности: 2 - 4a > 0

• Это дает a < 0.5.

2. Условие целочисленности: 1 - a > 0

• Это дает a < 1.

3. Условие целостности: поскольку n - это положительное целое число, 2 - 4a должно быть кратно 1 - a.

Теперь рассмотрим значения a:

• Если a = 0, то n = 2, что возможно.
• Если a = 1, то n не определено.
• Если a = -1, то n = 6, что возможно.
• Если a = -2, то n = 10, что возможно.

Таким образом, целые значения a, которые могут быть получены, это:

• -2
• -1
• 0

Итак, целые значения, которые может принимать число a, в порядке возрастания:

• -2
• -1
• 0