У нас есть равнобедренный треугольник АВС, где АВ = AC. Высота АЕ проведена к основанию ВС, а вершина С находится на оси х. Даны координаты точек А(4,14) и E(0,2). Вопросы:

1. Каков угловой коэффициент высоты АЕ?
2. Каково уравнение прямой ВС?
3. Каковы координаты вершины С?
4. Каковы координаты вершины В?
5. Каково уравнение прямой BF, проведенной через вершину В и параллельной высоте АЕ?
6. Каков периметр треугольника FBE?

Математика 10 класс Аналитическая геометрия равнобедренный треугольник угловой коэффициент уравнение прямой координаты вершины периметр треугольника Новый

Давайте поэтапно решим каждую из задач, связанных с равнобедренным треугольником ABC.

1. Угловой коэффициент высоты АЕ:

Чтобы найти угловой коэффициент прямой, нам нужно знать координаты двух точек. У нас есть точки A(4, 14) и E(0, 2).

Угловой коэффициент (k) можно найти по формуле:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) = (4, 14) и (x2, y2) = (0, 2).

Подставим значения:

• k = (2 - 14) / (0 - 4) = -12 / -4 = 3.

Таким образом, угловой коэффициент высоты АЕ равен 3.

2. Уравнение прямой ВС:

Так как треугольник равнобедренный, высота АЕ делит основание BC пополам. Точка E(0, 2) является серединой отрезка BC, поэтому координаты точки B будут (x, 2), а координаты точки C будут (x', 2), где x и x' - это абсциссы точек B и C соответственно.

Мы знаем, что высота AE перпендикулярна основанию BC. Угловой коэффициент прямой AE равен 3, а значит угловой коэффициент прямой BC будет равен -1/3 (перпендикулярные прямые имеют произведение угловых коэффициентов, равное -1).

Используем уравнение прямой в общем виде: y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - это точка E(0, 2).

Подставим значения:

• y - 2 = -1/3(x - 0),
• y - 2 = -1/3x.

Упрощая, получим:

• y = -1/3x + 2.

Таким образом, уравнение прямой BC: y = -1/3x + 2.

3. Координаты вершины С:

Поскольку C находится на оси x, у него будет координата (x, 0). Мы можем найти x, подставив y = 0 в уравнение прямой BC:

• 0 = -1/3x + 2,
• 1/3x = 2,
• x = 6.

Таким образом, координаты вершины C: (6, 0).

4. Координаты вершины B:

Так как точка E(0, 2) является серединой отрезка BC, то координаты точки B будут симметричны координатам точки C относительно точки E. Если C(6, 0), то B будет находиться на таком же расстоянии от E, но в другую сторону:

• x_B = 0 - (6 - 0) = -6,
• y_B = 2 (так как y для точки B тоже равно 2).

Таким образом, координаты вершины B: (-6, 2).

5. Уравнение прямой BF:

Прямая BF должна быть параллельна высоте AE, следовательно, её угловой коэффициент будет равен 3. Мы знаем координаты точки B(-6, 2). Подставим в уравнение прямой:

y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) = (-6, 2) и k = 3:

• y - 2 = 3(x + 6),
• y - 2 = 3x + 18,
• y = 3x + 20.

Таким образом, уравнение прямой BF: y = 3x + 20.

6. Периметр треугольника FBE:

Чтобы найти периметр треугольника FBE, нам нужно вычислить длины всех его сторон: FB, BE и EF. Для этого нам нужно знать координаты точки F, которая лежит на прямой BF.

Допустим, F находится на оси x, тогда его координаты будут F(x_F, 0). Подставим y = 0 в уравнение прямой BF:

• 0 = 3x_F + 20,
• 3x_F = -20,
• x_F = -20/3.

Таким образом, координаты точки F: (-20/3, 0).

Теперь найдем длины сторон:

• FB = sqrt[(-6 - (-20/3))^2 + (2 - 0)^2] = sqrt[(2/3)^2 + 2^2] = sqrt[4/9 + 4] = sqrt[40/9] = 2sqrt[10/9] = (2/3)sqrt[10].
• BE = sqrt[(-6 - 0)^2 + (2 - 2)^2] = 6.
• EF = sqrt[(-20/3 - 0)^2 + (0 - 2)^2] = sqrt[(20/3)^2 + 2^2] = sqrt[400/9 + 4] = sqrt[436/9] = (2/3)sqrt[109].

Теперь сложим длины сторон для нахождения периметра:

• P = FB + BE + EF = (2/3)sqrt[10] + 6 + (2/3)sqrt[109].

Таким образом, периметр треугольника FBE равен (2/3)sqrt[10] + 6 + (2/3)sqrt[109].