В квадрате ABCD на сторонах BC и CD выбраны точки M и N, так что BM составляет 1/4 от AB, а DN равно 3/5 от AB. Как можно определить косинус угла MAN?

Математика 10 класс Векторы и углы в геометрии косинус угла MAN квадрат ABCD точки M и N расстояние BM расстояние DN задачи по математике геометрия углы в квадрате Новый

Для начала давайте обозначим длину стороны квадрата ABCD как a. Таким образом, AB = BC = CD = DA = a.

Теперь определим координаты точек:

• A(0, a)
• B(0, 0)
• C(a, 0)
• D(a, a)

Теперь найдем координаты точек M и N:

• Точка M на стороне BC: BM составляет 1/4 от AB, значит, BM = 1/4 * a = a/4. Таким образом, координаты точки M равны (0, a/4).
• Точка N на стороне CD: DN составляет 3/5 от AB, значит, DN = 3/5 * a. Поскольку D находится в точке (a, a), то координаты точки N равны (a - 3/5 * a, a) = (2/5 * a, a).

Теперь у нас есть координаты точек A, M и N:

• A(0, a)
• M(0, a/4)
• N(2/5 * a, a)

Теперь мы можем найти векторы AM и AN:

• Вектор AM = M - A = (0, a/4) - (0, a) = (0, -3/4 * a)
• Вектор AN = N - A = (2/5 * a, a) - (0, a) = (2/5 * a, 0)

Теперь найдем длины этих векторов:

• Длина вектора AM = √((0)^2 + (-3/4 * a)^2) = 3/4 * a
• Длина вектора AN = √((2/5 * a)^2 + (0)^2) = 2/5 * a

Теперь найдем скалярное произведение векторов AM и AN:

Скалярное произведение AM и AN равно:

AM • AN = (0 * 2/5 * a) + (-3/4 * a * 0) = 0

Теперь, чтобы найти косинус угла MAN, используем формулу:

cos(MAN) = (AM • AN) / (|AM| * |AN|)

Подставляем значения:

cos(MAN) = 0 / ((3/4 * a) * (2/5 * a)) = 0

Это означает, что угол MAN равен 90 градусам, так как косинус 90 градусов равен 0.

Таким образом, ответ: косинус угла MAN равен 0.