В окружности, с обеих сторон от центра, проведены две параллельные хорды длиной 6 см и 8 см, а расстояние между ними составляет 7 см. Как можно определить площадь круга, заключенного в этой окружности?

Математика 10 класс Площадь круга и свойства окружности площадь круга окружность хорды математика 10 класс задачи по геометрии параллельные хорды радиус окружности расстояние между хордами геометрические фигуры Новый

Чтобы найти площадь круга, заключенного в данной окружности, нам нужно сначала определить радиус этой окружности. Для этого мы воспользуемся свойствами хорд и расстоянием между ними.

Шаг 1: Определим расстояние от центра окружности до каждой из хорд.

• Обозначим центр окружности как O.
• Пусть расстояние от центра до хорды длиной 6 см будет h1, а до хорды длиной 8 см будет h2.

Шаг 2: Используем теорему о расстоянии от центра окружности до хорды. Она гласит, что квадрат расстояния от центра окружности до хорды равен квадрату радиуса окружности минус квадрат половины длины хорды.

• Для первой хорды (длина 6 см):
• Половина длины хорды: 6 см / 2 = 3 см.
• По теореме: h1^2 = R^2 - 3^2, где R - радиус окружности.
• Для второй хорды (длина 8 см):
• Половина длины хорды: 8 см / 2 = 4 см.
• По теореме: h2^2 = R^2 - 4^2.

Шаг 3: У нас есть также информация о расстоянии между хордой длиной 6 см и хордой длиной 8 см. Это расстояние составляет 7 см, значит:

• h2 = h1 + 7 см.

Шаг 4: Теперь мы можем выразить h2 через h1:

• h2 = h1 + 7.

Шаг 5: Подставим h2 в уравнение для второй хорды:

• (h1 + 7)^2 = R^2 - 4^2.
• (h1 + 7)^2 = R^2 - 16.

Шаг 6: Теперь у нас есть два уравнения:

• h1^2 = R^2 - 9 (из первого уравнения).
• (h1 + 7)^2 = R^2 - 16 (из второго уравнения).

Шаг 7: Подставим h1^2 из первого уравнения во второе:

• (h1 + 7)^2 = (h1^2 + 16 - 16).

Шаг 8: Раскроем скобки и упростим уравнение:

• h1^2 + 14h1 + 49 = R^2 - 16.
• Подставим h1^2 = R^2 - 9:
• (R^2 - 9) + 14h1 + 49 = R^2 - 16.

Шаг 9: Упростим это уравнение:

• 14h1 + 40 = 0.
• h1 = -40/14 = -20/7.

Шаг 10: Теперь подставим значение h1 обратно в одно из уравнений, чтобы найти R:

• h1^2 = R^2 - 9.
• (-20/7)^2 = R^2 - 9.
• 400/49 = R^2 - 9.
• R^2 = 400/49 + 441/49 = 841/49.
• R = 29/7 см.

Шаг 11: Теперь мы можем найти площадь круга, используя формулу S = πR^2:

• S = π * (29/7)^2 = π * 841/49.

Итак, площадь круга, заключенного в окружности, равна π * 841/49 см².