Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная длины отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Определим длину гипотенузы: Поскольку точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 3 см, мы можем найти длину гипотенузы, сложив эти два отрезка:
• Длина гипотенузы = 5 см + 3 см = 8 см.
2. Обозначим стороны треугольника: Пусть a и b – это катеты нашего треугольника, а c – гипотенуза. В данном случае c = 8 см.
3. Используем свойства вписанной окружности: В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности r можно выразить через катеты и гипотенузу следующим образом:
• r = (a + b - c) / 2.
4. Согласно свойствам треугольника: Длина отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания, равна:
• p - a = 5 см,
• p - b = 3 см,
5. Где p – полупериметр треугольника: Он определяется как p = (a + b + c) / 2.
6. Составим систему уравнений: Из первого уравнения мы можем выразить a:
• a = p - 5 см.
7. Из второго уравнения выразим b:
• b = p - 3 см.
8. Подставим a и b в выражение для полупериметра:
• p = (a + b + c) / 2 = ((p - 5) + (p - 3) + 8) / 2.
9. Решим это уравнение:
• p = (2p - 5 - 3 + 8) / 2 = (2p) / 2 = p.
• Таким образом, у нас нет новых уравнений, но мы можем подставить a и b обратно:
10. Теперь найдем площадь треугольника: Площадь S прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
• S = (a * b) / 2.
11. Определим a и b через p: Подставив p обратно, мы можем найти значения a и b:
• a = p - 5 = 4 см,
• b = p - 3 = 6 см.
12. Теперь подставим a и b в формулу для площади:
• S = (4 см * 6 см) / 2 = 24 см² / 2 = 12 см².

Ответ: Площадь данного прямоугольного треугольника равна 12 см².

Привет! Давай разберемся, как можно найти площадь этого треугольника, зная, что точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 3 см.

Сначала, давай обозначим:

• c - гипотенуза треугольника, которая равна 5 см + 3 см = 8 см.
• a - один катет.
• b - другой катет.

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы, можем использовать свойства треугольника и вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника площадь можно вычислить по формуле:

Площадь = (a * b) / 2

Но нам нужно найти длины катетов a и b. Мы знаем, что точка касания делит гипотенузу на отрезки, которые равны 5 см и 3 см. Эти отрезки соответствуют:

• 5 см - это длина отрезка, который лежит напротив катета a.
• 3 см - это длина отрезка, который лежит напротив катета b.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, мы можем сказать:

• a = 5 см + r, где r - радиус вписанной окружности.
• b = 3 см + r.

Но радиус r можно найти через полупериметр (p) и площадь (S) треугольника:

r = S / p

Полупериметр p можно найти так:

p = (a + b + c) / 2

Теперь, чтобы найти площадь, мы можем использовать формулу:

S = r * p

В итоге, зная длины отрезков и гипотенузу, можно последовательно найти катеты, полупериметр и радиус, а затем площадь. Это может показаться немного сложным, но если всё делать шаг за шагом, то всё получится!

Если что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!